Корректность задачи по лин. алг.

[Diom]

Попалась мне задача в одном небезызвестном учебнике и вот что-то я не могу понять - то ли она не корректна то ли я что-то не понимаю. Суть задачи в следующем:
Вводится понятие марковской матрицы P, как матрицы чьи элементы $p_{ij}{$ больше или равны нулю, а их сумма по каждой из строк равна единице ($\sum_{j}{p_{ij}}=1$). Также вводится понятие вероятностного вектора-столбца: элементы больше или равны нулю а их сумма равна единице.

Нужно доказать следующее утверждение:
1)Матрица P(квадратная) является марковской в точности тогда, когда вместе с любым вероятностным вектором X вектор РХ также является вероятностным.
2)Произведение марковских матриц есть марковская матрица.

С последним заданием вопросов нет, оно очевидно доказывается путем непосредственного умножения. А вот первое у меня вызвало сомнение. Ну вот, например, взять такую матрицу очевидно марковскую матрицу: $\left[\begin{array}{cc}0.9 & 0.1\\0.9 & 0.1\end{array}\right]$ и вероятностный вектор $\left[\begin{array}{cc}1 & 0\end{array}\right]^{T}$ - очевидно результат произведения не будет вероятностным вектором. И с другой стороны возьмем, очевидно, не марковскую матрицу: $\left[\begin{array}{cc}0.1 & 0.1\\0.9 & 0.9\end{array}\right]$, но произведение любого вероятностного вектора на такую матрицу - есть вероятностный вектор.
Так вот вопрос - это ошибки моих рассуждений или все-таки в учебнике что-то не так?
ПС: вот если бы речь шла о вероятностных вектор-строках тогда бы все было "гладко", на мой взгляд.
ПС2: "в точности тогда" - это равносильно "тогда и только тогда"?

Приношу свои извинения за некорректно выбранный раздел форума для данной темы - это было ненамеренно. Прошу перенести тему в раздел "Помогите решить / разобраться "

[svv]

Похоже, что в учебнике ошибка, а все Ваши выводы правильные.

P.S. Они всё-таки обычно используют условие, что в матрице равна единице сумма элементов по строкам, а "выкручиваются" тем, что умножают матрицу на [транспонированный] вектор слева.