Явные формулы из рекуррентных

[MrDindows]

Как из рекуррентных формул получать формулы для н-ного члена?
Например, как из такого:
$L_{k+1}=2L_k+L_{k-1}-2L_{k-2}$
$L_1=1, L_2=2, L_3=5$
Получено такое:
$L_k=-\frac12-\frac16(-1)^k+\frac232^k$

[mihailm]

Маркушевич Возвратные последовательности

[MrDindows]

mihailm в сообщении #414853 писал(а):

Маркушевич Возвратные последовательности

Спасибо....попытаюсь разобраться....

[svv]

http://www.genfunc.ru/theory/rsol/ -- это если нужно нечто вроде "теория преобразования рекуррентных формул в явные за 15 минут".

[myra_panama]

MrDindows в сообщении #414852 писал(а):

$L_{k+1}=2L_k+L_{k-1}-2L_{k-2}$
$L_1=1, L_2=2, L_3=5$

сделаем так,
$L_{k+1}-L_{k-1}=2(L_{k}-L_{k-2})$
при k=3,4,... получаем
$L_{2k-2}-L_{2k-4}=2^{2k-5}(L_3-L_1)=2^{2k-5}4$
$L_{2k-1}-L_{2k-3}=2^{2k-4}(L_3-L_1)=2^{2k-4}4$
и окончательно можно получать , ваш ответ , если складиват равенства при k=3,4,5,....

[ShMaxG]

MrDindows
Обратите еще внимание на http://www.google.ru/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBcQFjAA&url=http%3A%2F%2Fwww.cs.uiuc.edu%2Fclass%2Fsp07%2Fcs473g%2Flectures%2Fx00-recurrences.pdf&rct=j&q=solving%20recurrences&ei=fcJgTcSeMoaEOvytmd0N&usg=AFQjCNH8_nDg0-DcqVvMhxz2uepvZw4B5w&sig2=RvtQ3FBTWaHwXz-vE39TBg&cad=rjt.

Составляется характеристическое уравнение, в нашем случае: $\[{a^3} = 2{a^2} + a - 2\]$.
Корни находятся мгновенно, $a_1$, $a_2$, $a_3$. Тогда

$$L_k = C_1 \cdot a_1^{k} + C_2 \cdot a_2^{k} + C_3 \cdot a_3^{k}$$

Константы находятся из начальных условий.