Линейное пространство, проекция вектора на подпространство

[swact]

Помогите пожалуйста с решением задачи
Найти проекцию данного вектора $x$ из $n$-мерного
арифметического пространства на линейное подпространство $P$ параллельно линейному подпространству $Q$, где $P$ — линейная оболочка системы векторов $a_1,..., a_k$, a $Q$ — линейная оболочка системы векторов $b_1,... ,b_l$.

Если
3)$n = 2; x,a,b$ - матричные столбцы
$x= \left( \begin{array}{cc} 1\\4\end{array} \right)$
$a= \left( \begin{array}{cc} -1\\1\end{array} \right)$
$b= \left( \begin{array}{cc} 1\\3\end{array} \right)$

Т.е. Системы веторов состоят всего из одного вектора

Не понимаю, как записать условие параллельности $P$ и $Q$, нашел только формулу для нахождения проекции без условия параллельности чему-либо. Подскажите плз.

[AKM]

Пожалуйста, исправьте написание формул в соответствии с Правилами.
Здесь рассказано, как набирать формулы (здесь подробнее).
Используйте кнопку для редактирования своего сообщения.

Тема перемещена из "Помогите решить (М)" в карантин.
Как исправите - пишите сюда, чтобы тему вернули.

Возвращено.

[ewert]

Чтобы задача была корректной, требуется, чтобы векторы $\{\vec a_i\}$ $\{\vec b_k\}$ в совокупности образовывали базис во всём пространстве. Тогда нужно просто разложить вектор $\vec x$ по этому базису. Та часть разложения, которая складывается из векторов $\{\vec a_i\}$, и будет искомой проекцией.

[swact]

огромное спасибо

[voipp]

ewert в сообщении #414540 писал(а):

Чтобы задача была корректной, требуется, чтобы векторы $\{\vec a_i\}$ $\{\vec b_k\}$ в совокупности образовывали базис во всём пространстве. Тогда нужно просто разложить вектор $\vec x$ по этому базису. Та часть разложения, которая складывается из векторов $\{\vec a_i\}$, и будет искомой проекцией.

А почему задача будет некорректной, если векторы не образуют базис всего пространства?

[Massaget]

Потому что тогда не каждый вектор будет однозначно раскладываться в сумму векторов из $P$ и из $Q$, и проекция не будет определена.

[Alexey Rodionov]

Цитата:

Чтобы задача была корректной, требуется, чтобы векторы $\{\vec a_i\}$ $\{\vec b_k\}$ в совокупности образовывали базис во всём пространстве. Тогда нужно просто разложить вектор $\vec x$ по этому базису. Та часть разложения, которая складывается из векторов $\{\vec a_i\}$, и будет искомой проекцией.

Не совсем так. Даже линейная независимость систем не является необходимой. А если почувствовать себя вектором, который не любой, а ДАННЫЙ, чиста конкретный, то еще найдется, где покувыркаться.