Задачка по аналитической геометрии

[FaLLen]

При каких значениях $k$ и $m$ прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей $3x+y-z+4=0$ и $x-5y-z+5=0$,
лежит в плоскости $-7x-13y+ kz+m=0$ ??
Помогите,плз!
Спасибо за внимание!И за участие!

[Vassil]

Коеффициенты перед $x,\,y,\,z$ в уравнении плоскости, как известно, это координаты нормального, т.е. перпендикулярного, вектора к плоскости.

Векторное произведение $\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$ нормальных векторов к первым двум плоскостям это вектор, коллинеарный с прямой пересечения этих двух плоскостей.

Если теперь еще скалярное произведение этого вектора с нормальным вектором к третьей плоскости $(\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3})= 0$, то тогда последные два вектора лежат в одной и той же плоскости - это будет третьяя плоскость.

Таким образом получите условие для двух параметров $k,\,m$.

[vbn]

$ (3x+y-z+4)-(x-5y-z+5)=2x+6y-1=0; $x=0, y=1/6, z=25/6, $x=1/2, y=0, z=11/2; $25/6k+m=13/6, $11/2k+m=7/2.$

[FaLLen]

ОГРОМНОЕ СПАСИБОООО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Добавлено спустя 39 минут 6 секунд:

Правда,честно сказать.я ничего не поняла...но судя по всему в итоге получается,что k=1 ,a m=-2???

[vbn]

Ответ верный.

1) Приравниваем ур-я 1-ой и 2-ой плоскостей
(тем самым находим уравнение прямой, по которой эти пл-ти пересекаются)
$(3x+y-z+4)=(x-5y-z+5).$

2) Выбираем любые две точки на этой прямой
("удобные" точки, например, получатся при x=0, y=0).
Находим z из уравнения 1-ой или 2-ой плоскости
(нам все равно какой, так как прямая-то принадлежит каждой из этих плоскостей)
$x=0, y=1/6, z=25/6, $x=1/2, y=0, z=11/2.$

3) Подставляем в ур-е 3-ей плоскости найденные координаты двух точек нашей прямой,
решаем систему, и получаем результат.

[FaLLen]

спасибо огромное!!!я бы сама не справилась!!!!!!!!!!!!!

[Someone]

О, Боже! Ну и советов надавали.

vbn писал(а):

Приравниваем ур-я 1-ой и 2-ой плоскостей
(тем самым находим уравнение прямой, по которой эти пл-ти пересекаются)

Это не будет уравнение прямой. Это будет уравнение одной из плоскостей, проходящих через ту же прямую, что и две заданные плоскости.

Можно предложить следующий простой способ. Находим два каких-нибудь различных решения системы

$$\begin{cases}3x+y-z=-4\\x-5y-z=-5\end{cases}$$

Для этого можно, например, подставить вместо $z$ два различных числа и из двух полученных систем найти $x$ и $y$. Получатся две точки, лежащие на прямой.
Затем нужно подставить координаты этих точек в уравнение третьей плоскости и найти из полученной системы $k$ и $m$.

[vbn]

Согласен, пояснение некорректное.
Но решение в принципе верное.

[Someone]

vbn писал(а):

Согласен, пояснение некорректное.
Но решение в принципе верное.

Ответ, как будто бы, правильный. Либо сильно повезло, либо какая-то закономерность есть.

[vbn]

Да, объяснение есть.
Сначала было найдено уравнение одной из плоскостей,
проходящей через ту же прямую, что и две заданные плоскости.
А затем из него было "выделено" уравнение плоскости, совпадающей с третьей.

[tolstopuz]

Вообще-то, если переформулировать условие как "найти, при каких значениях $k$ и $m$ три данные плоскости пересекаются по прямой", то задача сводится к элементарной:

при каких значениях $k$ и $m$ матрица

$$\left[\begin{array}{cccc}3&1&-1&4&1&-5&-1&5&-7&-13&k&m\end{array}\right]$$

имеет неполный ранг.

[Someone]

vbn писал(а):

Да, объяснение есть.
Сначала было найдено уравнение одной из плоскостей,
проходящей через ту же прямую, что и две заданные плоскости.
А затем из него было "выделено" уравнение плоскости, совпадающей с третьей.

Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?

[vbn]

Someone писал(а):

Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?

Умножу уравнение второй плоскости на 2 и вычту 1-ое ур-е из 2-го.

[Someone]

vbn писал(а):

Someone писал(а):

Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?

Умножу уравнение второй плоскости на 2 и вычту 1-ое ур-е из 2-го.

Ага, значит, ищете уравнение не какой-попало плоскости, а вполне определённой - параллельной оси $Oz$. Может быть, описывать этот этап как решение системы уравнений методом Гаусса? Смысл-то в этом: нужно найти два различных решения системы, определяющей прямую, и для этого как раз очень удобно исключить одну из неизвестных.

[vbn]

Согласен, такое объяснение отражает самую суть.