2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка по аналитической геометрии
Сообщение19.11.2006, 18:02 


19/11/06
10
При каких значениях $k$ и $m$ прямая, являющаяся линией пересечения плоскостей $3x+y-z+4=0$ и $x-5y-z+5=0$,
лежит в плоскости $-7x-13y+ kz+m=0$ ??
Помогите,плз!
Спасибо за внимание!И за участие!

 Профиль  
                  
 
 Подсказка?
Сообщение19.11.2006, 19:16 


03/09/05
217
Bulgaria
Коеффициенты перед $x,\,y,\,z$ в уравнении плоскости, как известно, это координаты нормального, т.е. перпендикулярного, вектора к плоскости.

Векторное произведение $\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2}$ нормальных векторов к первым двум плоскостям это вектор, коллинеарный с прямой пересечения этих двух плоскостей.

Если теперь еще скалярное произведение этого вектора с нормальным вектором к третьей плоскости $(\overrightarrow{n_1} \times \overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3})= 0$, то тогда последные два вектора лежат в одной и той же плоскости - это будет третьяя плоскость.

Таким образом получите условие для двух параметров $k,\,m$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 19:26 


12/02/06
110
Russia
$
(3x+y-z+4)-(x-5y-z+5)=2x+6y-1=0;


$x=0, y=1/6, z=25/6,


$x=1/2, y=0, z=11/2;


$25/6k+m=13/6,


$11/2k+m=7/2.$

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 20:50 


19/11/06
10
ОГРОМНОЕ СПАСИБОООО!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Добавлено спустя 39 минут 6 секунд:

Правда,честно сказать.я ничего не поняла...но судя по всему в итоге получается,что k=1 ,a m=-2???

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 21:40 


12/02/06
110
Russia
Ответ верный.

1) Приравниваем ур-я 1-ой и 2-ой плоскостей
(тем самым находим уравнение прямой, по которой эти пл-ти пересекаются)
$(3x+y-z+4)=(x-5y-z+5).$

2) Выбираем любые две точки на этой прямой
("удобные" точки, например, получатся при x=0, y=0).
Находим z из уравнения 1-ой или 2-ой плоскости
(нам все равно какой, так как прямая-то принадлежит каждой из этих плоскостей)
$x=0, y=1/6, z=25/6,

$x=1/2, y=0, z=11/2.$

3) Подставляем в ур-е 3-ей плоскости найденные координаты двух точек нашей прямой,
решаем систему, и получаем результат.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение19.11.2006, 22:06 


19/11/06
10
спасибо огромное!!!я бы сама не справилась!!!!!!!!!!!!!

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 01:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
О, Боже! Ну и советов надавали.

vbn писал(а):
Приравниваем ур-я 1-ой и 2-ой плоскостей
(тем самым находим уравнение прямой, по которой эти пл-ти пересекаются)


Это не будет уравнение прямой. Это будет уравнение одной из плоскостей, проходящих через ту же прямую, что и две заданные плоскости.

Можно предложить следующий простой способ. Находим два каких-нибудь различных решения системы
$$\begin{cases}3x+y-z=-4\\x-5y-z=-5\end{cases}$$
Для этого можно, например, подставить вместо $z$ два различных числа и из двух полученных систем найти $x$ и $y$. Получатся две точки, лежащие на прямой.
Затем нужно подставить координаты этих точек в уравнение третьей плоскости и найти из полученной системы $k$ и $m$.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 01:59 


12/02/06
110
Russia
Согласен, пояснение некорректное.
Но решение в принципе верное.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 02:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vbn писал(а):
Согласен, пояснение некорректное.
Но решение в принципе верное.


Ответ, как будто бы, правильный. Либо сильно повезло, либо какая-то закономерность есть.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 02:24 


12/02/06
110
Russia
Да, объяснение есть.
Сначала было найдено уравнение одной из плоскостей,
проходящей через ту же прямую, что и две заданные плоскости.
А затем из него было "выделено" уравнение плоскости, совпадающей с третьей.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 11:10 
Заслуженный участник


31/12/05
1406
Вообще-то, если переформулировать условие как "найти, при каких значениях $k$ и $m$ три данные плоскости пересекаются по прямой", то задача сводится к элементарной:

при каких значениях $k$ и $m$ матрица

$$\left[\begin{array}{cccc}3&1&-1&4&1&-5&-1&5&-7&-13&k&m\end{array}\right]$$

имеет неполный ранг.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vbn писал(а):
Да, объяснение есть.
Сначала было найдено уравнение одной из плоскостей,
проходящей через ту же прямую, что и две заданные плоскости.
А затем из него было "выделено" уравнение плоскости, совпадающей с третьей.


Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение22.11.2006, 23:39 


12/02/06
110
Russia
Someone писал(а):
Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?
Умножу уравнение второй плоскости на 2 и вычту 1-ое ур-е из 2-го.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 00:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
17973
Москва
vbn писал(а):
Someone писал(а):
Непонятно. А что Вы будете делать, если плоскость $-7x-13y+kz+m=0$ должна проходить через прямую $\begin{cases}3x+y-2z+4=0\\x-5y-z+5=0\end{cases}$?
Умножу уравнение второй плоскости на 2 и вычту 1-ое ур-е из 2-го.


Ага, значит, ищете уравнение не какой-попало плоскости, а вполне определённой - параллельной оси $Oz$. Может быть, описывать этот этап как решение системы уравнений методом Гаусса? Смысл-то в этом: нужно найти два различных решения системы, определяющей прямую, и для этого как раз очень удобно исключить одну из неизвестных.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение23.11.2006, 00:14 


12/02/06
110
Russia
Согласен, такое объяснение отражает самую суть. :)

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group