n и (n+1) оба делятся только на 2,3,5,7

[alex1910]

В разложениях n и (n+1) нет простых, больших чем 7.

Найти максимальное n c таким свойством.

Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

А должно быть какое-то простое красивое решение.

[worm2]

Что-то я не уверен, что здесь существует простое и красивое решение.
Хотя... тут есть специалисты по теории чисел, может, они меня сурово поправят.

[alex1910]

worm2 в сообщении #413611 писал(а):

Что-то я не уверен, что здесь существует простое и красивое решение.
Хотя... тут есть специалисты по теории чисел, может, они меня сурово поправят.

Будьте проще - это задача для детей, так что у нее есть простое элементарное решение.

[maxal]

alex1910 в сообщении #413609 писал(а):

Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:

$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$

Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.

[alex1910]

maxal в сообщении #413623 писал(а):

alex1910 в сообщении #413609 писал(а):

Никаких идей, кроме тривиальной - решения 10-ти диофантовых уравнений.

Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:

$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$

Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.

Ну 12 - их и имел ввиду. Решить - конечно не проблема, но требует некоторого времени, если делать руками.

Также не проблема оценить n сверху и перебрать варианты на компьютере.

На задача чуть ли не из сборника ЕГЭ - так что можно ее решить на порядок проще, полагаю.

[Руст]

maxal в сообщении #413623 писал(а):

Почему 10? Должно быть $2^4=16$, ну или если откинуть 4 совсем тривиальных, то остается 12 примерно такого вида:

$$2^a 3^b - 5^c 7^d = \pm 1.$$

Решить их не проблема, кстати - см. topic38828.html и далее по ссылкам.

Почему 12?
$C_4^1+C_4^2=10$. Оставшийся случай - одно из чисел 1, соответственно другой из них 2.

[maxal]

Руст в сообщении #413678 писал(а):

$C_4^1+C_4^2=10$. Оставшийся случай - одно из чисел 1, соответственно другой из них 2.

Я считал, что каждое простое 2,3,5,7 делит какое-то из чисел. При этом количество уравнений (исключая тривиальные) равно $2\binom{4}{1} + \binom{4}{2} = 14$. Множитель 2 здесь засчет возможного знака $1$ в правой части.

[Equinoxe]

Ммм, возьмём числа вида 2^n-1 и 2^n, если решение данной задачи существует (я его не знаю, так как вообще не математик, диофантовы уравнения решать немного умею, но не больше :)), выходит, мы решили открытую проблему о бесконечности чисел Мерсенна, т.к. если 2^n-1 простое, то пара 2^n-1 и 2^n, очевидно, подходит.

Либо я неправильно понимаю условие задачи, либо … В общем, поправьте меня :)

[worm2]

Неправильно понимаете
Вот если бы число $2^n-1$ делилось бы только на 3, 5 и 7, и ни на какие другие простые числа, тогда да. А большие простые числа здесь ни при чём.

[Батороев]

Небольшое рассуждение...

Используя свойства треугольных чисел, получаем:

$8\cdot \dfrac{n\cdot (n+1)}{2}+1=m^2$,
где $m$ - натуральное число.

следовательно, эквивалентная задача - нахождение решений уравнения:

$4\cdot 2^a\cdot 3^b\cdot 5^c\cdot 7^d + 1 = m^2$.

(Оффтоп)

Кстати, одно из решений $7!+1=71^2$, а наибольшее, найденное мной $ m=449$.