Термодинамика темной энергии

[apv]

Как известно, уравнение состояния темной энергии имеет вид $p=-\varepsilon$. Из первого начала для адиабатического расширения влеленной имеем:

$$ -pdV=dE $$

и с подстановкой уравнения состояния

$$ dE=\varepsilon dV $$

Т.е., $\varepsilon = const>0$, откуда видно, что из-за расширения, энергия Вселенной увеличивается. Как это понимать?

[Munin]

Ищите, чей вклад в энергию вы забыли.

[apv]

apv в сообщении #413260 писал(а):

Ищите, чей вклад в энергию вы забыли.

Если Вы имеете ввиду излучение, тогда получается:

$$ dE=\varepsilon_{DE} dV -\frac{const}{V^{\frac{4}{3}}} dV $$

Откуда видно, что плотность энергии излучения с увеличением объема убывает, а общая все равно растет.

[Munin]

apv в сообщении #413361 писал(а):

Если Вы имеете ввиду излучение

Нет, не его. У гравитационного поля энергии нет, что ли?

Излучение можно не рассматривать, как и вещество (которого на нынешнем этапе побольше, чем излучения). Берите чистое решение Де Ситтера. И закон сохранения энергии пишите в локальном ковариантном виде.

[apv]

Munin в сообщении #413411 писал(а):

У гравитационного поля энергии нет, что ли?

А слона то я и не заметил. Спасибо.

Munin в сообщении #413411 писал(а):

Излучение можно не рассматривать, как и вещество (которого на нынешнем этапе побольше, чем излучения).

Ну да, как говорится сейчас "эра доминирования темной энергии".

apv в сообщении #413361 писал(а):

Берите чистое решение Де Ситтера. И закон сохранения энергии пишите в локальном ковариантном виде.

В общем, идея понятна, но вычислять в лоб энергию из псевдоТЭИ гравитационного поля ПОКА обломался.

(Предположительно должно получиться $\varepsilon_{G}=-p_{G}=-\varepsilon_{DE}$, $p_{G}>0$ -давление грав. поля)

[apv]

Ожидания не оправдались. Если вычислить влоб псевдоТЭИ согласно ЛЛ2, получается:

$$ t^{00}=- \frac{5}{{32\pi G}}{\left( {\frac{{\dot a(t)}}{a(t)}} \right)^2}\frac{1}{a(t)} $$

Запишем дифференциал энергии в виде $dE=-g \cdot (T^{00}+t^{00})dV$.
Поскольку $-g=a(t)^3=V$, имеем:

$$ dE=V \cdot \left(T^{00}- \frac{5}{{32\pi G}}{\left( {\frac{{\dot a(t)}}{a(t)}} \right)^2}\frac{1}{a(t)}\right)d\omega $$

Из уравнения Эйнштейна для источника постоянной плотности энергии (темной энергии) :

$$ \left( {\frac{{\dot a(t)}}{a(t)}} \right)^2=\frac{8 \pi G}{3} \varepsilon_{DM}$$

$T^{00}=\varepsilon_{DM}$

Далее

$$ dE=V \cdot \left(\varepsilon_{DM}- \frac{5}{{12}}{ \varepsilon_{DM}}\frac{1}{V^{1/3}}\right)d\omega $$

В общем, все равно что-то неладное. Где-то ошибка.

[apv]

Все, нашел ошибку, разбираюсь. Прошу модераторов удалить предыдущее сообщение.

[apv]

Окончательно у меня получилось:

$$ t^{00}=-\frac{3}{8\pi G}\left( \frac{\dot a}{a} \right)^2 $$

Учитывая что из уравнений Эйнштейна для темной энергии:

$$\varepsilon_{DM}=\frac{3}{8\pi G}\left( \frac{\dot a}{a} \right)^2$$

То $\varepsilon_{DM}=-\varepsilon_{G}$, отсюда, естественно, общая энергия $0$.

[Munin]

Здорово. Жаль, что я всё пропустил.

[apv]

apv в сообщении #413596 писал(а):

Здорово. Жаль, что я всё пропустил.

Вычисления из ЛЛ2 псевдотензора я проделал с помощью MAPLE14 (пакет tensor):

> restart;
Определения псевдотензора энергии-импульса гравитационного поля
> tik:=1/(4*Pi*G)*(sum(sum(sum(sum(( 2*CC2[n,l,m]*CC2[p,n,p]-CC2[n,l,p]*CC2[p,m,n]-CC2[n,l,n]*CC2[p,m,p])*(CM[i,l]*CM[k,m]-CM[i,k]*CM[l,m])                                  ,p=1..4),n=1..4),m=1..4),l=1..4)+
> sum(sum(sum(sum(( CM[i,l]*CM[m,n]*( CC2[k,l,p]*CC2[p,m,n]+CC2[k,m,n]*CC2[p,l,p]-CC2[k,n,p]*CC2[p,l,m]-CC2[k,l,m]*CC2[p,n,p]  ))                                ,p=1..4),n=1..4),m=1..4),l=1..4)+
> sum(sum(sum(sum(( CM[k,l]*CM[m,n]*( CC2[i,l,p]*CC2[p,m,n]+CC2[i,m,n]*CC2[p,l,p]-CC2[i,n,p]*CC2[p,l,m]-CC2[i,l,m]*CC2[p,n,p]  ))                                ,p=1..4),n=1..4),m=1..4),l=1..4)+
> sum(sum(sum(sum(( CM[l,m]*CM[n,p]*( CC2[i,l,n]*CC2[k,m,p]-CC2[i,l,m]*CC2[k,n,p]  ))                                ,p=1..4),n=1..4),m=1..4),l=1..4) ):

> with( tensor ):

Определение координат и ковариантных компонент метрики Де Ситтера.
> coord := [t, x, y, z]:
> g_compts := array(symmetric,sparse, 1..4, 1..4):
> g_compts[1,1] := 1: g_compts[2,2] := -a(t):
> g_compts[3,3] := -a(t):    g_compts[4,4] := -a(t):
> g := create( [-1,-1], eval(g_compts)):
> tensorsGR(coord,g,contra_metric,det_met, C1, C2, Rm, Rc, R, G, C):
Получение контравариантных компонент метрики
> CM:=get_compts(contra_metric):
Получение символов Кристоффеля 2-го рода
> CC2:=get_compts(C2):
Вычисляем $\t^{00}$. В Maple - это  $\t^{11}$ 
> i:=1:k:=1:
> tik;

                                /d      \2
                                |-- a(t)|
                                \dt     /
                           -3/8 ----------
                                         2
                                Pi G a(t)

-- Ср фев 16, 2011 14:57:40 --

apv в сообщении #413474 писал(а):

(Предположительно должно получиться $\varepsilon_{G}=-p_{G}=-\varepsilon_{DE}$, $p_{G}>0$ -давление грав. поля)

И догадка оправдалась.

[Munin]

Я думал, ручкой на бумажке...

[apv]

apv в сообщении #413659 писал(а):

Я думал, ручкой на бумажке...

Да начал было... Но перед глазами увидел computer...

[Munin]

В продолжение темы: на форуме Modern Cosmology мне сообщили, что

den на Modern Cosmology в сообщении #423 писал(а):

...космологическое следствие $T^{\mu}_{\nu\, ;\,\mu}=0$ в FRW метрике сводится к уравнению сохранения

$$\dot \rho + 3H( \rho + p ) = 0.$$

что приведено, например, в

den на Modern Cosmology в сообщении #425 писал(а):

Cosmology, Steven Weinberg (2008) формула (1.1.32).

По такой простой формуле можно легко делать вычисления на бумажке, и даже, может быть, в уме. Так что я подумал, что её стоит упомянуть.

[apv]

Я у В. Фока "Теория пространства, времени и тяготения" вычитал:

Цитата:

В теории, оперирующей с галилеевым пространством-временем, классические законы сохранения могли быть написаны в дифференциальной форме, а именно в виде соотношений (31.10). Обобщением их является соотношение
$\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0$, (89.01)
которое, согласно (41.25), можно написать в виде
$\dfrac{1}{\sqrt{-g}}\partial_{\mu} \sqrt{-g}T^{\mu\nu}+\Gamma^{\nu}_{\alpha\beta} T^{\alpha\beta} = 0$. (89.02)
Однако соотношение (89.01) не приводит, само по себе, к законам сохранения. Математическая причина этого состоит в том, что наличие второго члена в (89.02), стоящего вне знака производной, не позволяет, в общем случае, заключить о постоянстве какого-либо объемного интеграла (см. § 49). Физической же причиной является тот факт, что. поле тяготения само обладает энергией, которая не входит явно в $T^{\mu\nu}$ но которую тем не менее необходимо учитывать
в общем балансе.

поэтому и не стал применять эту формулу, а вычислял влоб. Как тогда понять Фока?

-- Вс май 08, 2011 18:46:09 --

К тому же, в уравнение (89.02) явно входит только характеристики материи, порождающей гравитацию. Если рассмотреть только вакуум, то из уравнения (89.02) получится тождество $0=0$. Ну а если взять уравнение $(T^{\mu\nu}+t^{\mu\nu})_{,\nu}=0$, и вычислить в лоб $T^{\mu\nu}$ и $t^{\mu\nu}$ и потом сложить, то выйдет $0$. Мне ведь было интересно, что именно общая энергия вакуума и грав поля $0$, а уравнение (89.01) говорит лишь о сохранении энергии, но не о абсолютной ее величине.

[Munin]

apv в сообщении #443661 писал(а):

Как тогда понять Фока?

Как ворчуна, не любившего ОТО. Что плохого в том, что в законе сохранения энергии нужно учитывать энергию гравитационного поля? Глупо было бы её не учитывать.

Книжку Фока не люблю. Как минимум, несовременна.

apv в сообщении #443661 писал(а):

Мне ведь было интересно, что именно общая энергия вакуума и грав поля 0, а уравнение (89.01) говорит лишь о сохранении энергии, но не о абсолютной ее величине.

Вообще да. Но ведь энергия и определена только с точностью до константы?

Кстати, вот есть такая штука ещё:
http://www.astronet.ru/db/msg/1170672/index.html