Вопросы по топологии(Многообразия)

[maxmatem]

ЛЕММА 1
Пусть $M^{n}$ топологическое многообразие. Тогда его можно покрыть счётным числом открытых областей $W_{i}$, где каждая $W_{i}$ является открытым шаром с радиусом $r_{i}$ в какой-нибудь из координатных окрестностей(точнее говоря каждая в своей)
Доказательство.

Рассмотрим счётную базу $Z$ на $M^{n}$. и зафиксируем произвольный атлас $A$. Выберем из этой базы те её элементы, которые содержатся в картах атласа $A$.(зафиксировав свою карту для каждого элемента базы.). Таким образом мы получили семейство открытых множеств $B'$ -так же которые являются базой в $M^{n}$. Тогда в качестве покрытия возьмём семейство открытых шаров с рациональными радиусами и центрами в рациональных точках этих элементов базы $B'$ (в соответствующих картах.).

У меня вопрос, а точно ли такое семейство образует открытое покрытие $M^{n}$ ?(интуиция подсказывает что да, но хочется формально показать....)

ЛЕММА 2
Во всяком многообразии $ M^{n}$, можно выделить последовательность компактных множеств $K_{i}$ обладающих следующими свойствами:
$\[ \begin{gathered} K_i \subset \operatorname{int} K_{i + 1} \hfill \\ \bigcup\limits_{i = 1}^\infty {K_i } = M^n \hfill \\ \end{gathered} \] $

Доказательство.
рассмотрим покрытие $\[ \left\{ {W_i } \right\} \]$ из леммы 1.
Введём обозначение:$\[ B_r \]$ замкнутый шар радиуса $r$.

Обозначим$ \[ K_1 = B_{(1 - 1)r_1 } \subset W_1 \]$.
т.е замкнутый шар соответствующего радиуса содержится в открытом шаре $W_{1}$
Тогда $\[ K_2 = \left( {B_{\left( {1 - \frac{1} {2}} \right)r_1 } \cup B_{(1 - 1)r_2 } } \right);B_{\left( {1 - \frac{1} {2}} \right)r_1 } \subset W_1 ,B_{(1 - 1)r_2 } \subset W_{_2 } \] $
...........

$\[ K_i = \left( {B_{\left( {1 - \frac{1} {i}} \right)r_1 } \cup B_{(1 - \frac{1} {{i - 1}})r_2 } \cup ... \cup B_{(1 - \frac{1} {2})r_{i - 1} } \cup B_{(1 - 1)r_i } } \right);B_{\left( {1 - \frac{1} {i}} \right)r_1 } \subset W_1 ,....,B_{(1 - 1)r_i } \subset W_i \]$

Вопрос в том точно ли эта пос-ть будет покрытием?

[maxmatem]

Выполнение первого условия в лемме два , мне очевидно(в силу построения), а вот со вторым как-то не очень..

[Someone]

maxmatem в сообщении #413117 писал(а):

Рассмотрим счётную базу $Z$ на $M^{n}$.

А у Вас топологическое многообразие обязательно со счётной базой и регулярно? Я как-то привык, что топологическое многообразие - это связное топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству пространства $\mathbb R^n$. Без каких-либо других требований.

Вы как-то слишком сложно доказываете Лемму 1. Если я правильно помню, мы с Вами обсуждали теорему о том, что если топологическое пространство имеет счётную базу, то из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать (не более чем) счётное подпокрытие. Этой теоремой и воспользуйтесь вместо того, чтобы возиться с рациональными числами.

Доказательство Леммы 2 я вообще не понял.

Я советую чуть-чуть усилить утверждение Леммы 1, добавив требование, чтобы замыкание упомянутого там шара (в $\mathbb R^n$) целиком содержалось в соответствующей карте. Тогда замыкания множеств $W_i$ в $M^n$ будут компактными, и Вы можете строить $K_j$ таким образом.
Полагаем $K_1=[W_1]_{M^n}$.
Если для некоторого $i\geqslant 2$ множество $K_{i-1}$ уже построено, то выбираем конечное покрытие множества $K_{i-1}$ множествами $W_j$ ("покрытие" в том смысле, что $K_{i-1}$ содержится в их объединении), добавляем к этому объединению множество $W_i$, чтобы точно ничего не пропустить, и берём замыкание.

-- Вт фев 15, 2011 13:58:52 --

Ещё раз посмотрел доказательство Леммы 2. Идею понял, работать она должна, но оформлено как-то странно.
Ведь карта на многообразии включает 1) открытое множество $U\subseteq M^n$, 2) открытое множество $V\subseteq\mathbb R^n$, 3) гомеоморфизм $\varphi\colon U\to V$. И нужно явно различать множества, находящиеся в $M^n$, и множества, находящиеся в $\mathbb R^n$. А у Вас шары лежат в $\mathbb R^n$, а множества $W_i$ - в $M^n$, и Вы их смешиваете.