2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Вопросы по топологии(Многообразия)
Сообщение15.02.2011, 00:32 
Аватара пользователя


15/08/09
1381
МГУ
ЛЕММА 1
Пусть $M^{n}$ топологическое многообразие. Тогда его можно покрыть счётным числом открытых областей $W_{i}$, где каждая $W_{i}$ является открытым шаром с радиусом $r_{i}$ в какой-нибудь из координатных окрестностей(точнее говоря каждая в своей)
Доказательство.

Рассмотрим счётную базу $Z$ на $M^{n}$. и зафиксируем произвольный атлас $A$. Выберем из этой базы те её элементы, которые содержатся в картах атласа $A$.(зафиксировав свою карту для каждого элемента базы.). Таким образом мы получили семейство открытых множеств $B'$ -так же которые являются базой в $M^{n}$. Тогда в качестве покрытия возьмём семейство открытых шаров с рациональными радиусами и центрами в рациональных точках этих элементов базы $B'$ (в соответствующих картах.).

У меня вопрос, а точно ли такое семейство образует открытое покрытие $M^{n}$ ?(интуиция подсказывает что да, но хочется формально показать....)

ЛЕММА 2
Во всяком многообразии $ M^{n}$, можно выделить последовательность компактных множеств $K_{i}$ обладающих следующими свойствами:
$\[
\begin{gathered}
  K_i  \subset \operatorname{int} K_{i + 1}  \hfill \\
  \bigcup\limits_{i = 1}^\infty  {K_i }  = M^n  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
$

Доказательство.
рассмотрим покрытие $\[
\left\{ {W_i } \right\}
\]$ из леммы 1.
Введём обозначение:$\[
B_r 
\]$ замкнутый шар радиуса $r$.

Обозначим$ \[
K_1  = B_{(1 - 1)r_1 }  \subset W_1 
\]$.
т.е замкнутый шар соответствующего радиуса содержится в открытом шаре $W_{1}$
Тогда $\[
K_2  = \left( {B_{\left( {1 - \frac{1}
{2}} \right)r_1 }  \cup B_{(1 - 1)r_2 } } \right);B_{\left( {1 - \frac{1}
{2}} \right)r_1 }  \subset W_1 ,B_{(1 - 1)r_2 }  \subset W_{_2 } 
\]
$
...........

$\[
K_i  = \left( {B_{\left( {1 - \frac{1}
{i}} \right)r_1 }  \cup B_{(1 - \frac{1}
{{i - 1}})r_2 }  \cup ... \cup B_{(1 - \frac{1}
{2})r_{i - 1} }  \cup B_{(1 - 1)r_i } } \right);B_{\left( {1 - \frac{1}
{i}} \right)r_1 }  \subset W_1 ,....,B_{(1 - 1)r_i }  \subset W_i 
\]$

Вопрос в том точно ли эта пос-ть будет покрытием?

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по топологии(Многообразия)
Сообщение15.02.2011, 13:00 
Аватара пользователя


15/08/09
1381
МГУ
Выполнение первого условия в лемме два , мне очевидно(в силу построения), а вот со вторым как-то не очень..

 Профиль  
                  
 
 Re: Вопросы по топологии(Многообразия)
Сообщение15.02.2011, 13:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
16971
Москва
maxmatem в сообщении #413117 писал(а):
Рассмотрим счётную базу $Z$ на $M^{n}$.

А у Вас топологическое многообразие обязательно со счётной базой и регулярно? Я как-то привык, что топологическое многообразие - это связное топологическое пространство, каждая точка которого имеет окрестность, гомеоморфную открытому подмножеству пространства $\mathbb R^n$. Без каких-либо других требований.

Вы как-то слишком сложно доказываете Лемму 1. Если я правильно помню, мы с Вами обсуждали теорему о том, что если топологическое пространство имеет счётную базу, то из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать (не более чем) счётное подпокрытие. Этой теоремой и воспользуйтесь вместо того, чтобы возиться с рациональными числами.

Доказательство Леммы 2 я вообще не понял.

Я советую чуть-чуть усилить утверждение Леммы 1, добавив требование, чтобы замыкание упомянутого там шара (в $\mathbb R^n$) целиком содержалось в соответствующей карте. Тогда замыкания множеств $W_i$ в $M^n$ будут компактными, и Вы можете строить $K_j$ таким образом.
Полагаем $K_1=[W_1]_{M^n}$.
Если для некоторого $i\geqslant 2$ множество $K_{i-1}$ уже построено, то выбираем конечное покрытие множества $K_{i-1}$ множествами $W_j$ ("покрытие" в том смысле, что $K_{i-1}$ содержится в их объединении), добавляем к этому объединению множество $W_i$, чтобы точно ничего не пропустить, и берём замыкание.

-- Вт фев 15, 2011 13:58:52 --

Ещё раз посмотрел доказательство Леммы 2. Идею понял, работать она должна, но оформлено как-то странно.
Ведь карта на многообразии включает 1) открытое множество $U\subseteq M^n$, 2) открытое множество $V\subseteq\mathbb R^n$, 3) гомеоморфизм $\varphi\colon U\to V$. И нужно явно различать множества, находящиеся в $M^n$, и множества, находящиеся в $\mathbb R^n$. А у Вас шары лежат в $\mathbb R^n$, а множества $W_i$ - в $M^n$, и Вы их смешиваете.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group