не задача коши и не краевая задача (численное реш. ДУ)

[vlm]

Задача математическая на засыпку...
интересная довольно таки...
Задача:
есть система
$\frac{dx}{dt}=f(x,y,t)$
$\frac{dy}{dt}=g(x,y,t)$

начальные условия:
$x(0)=x_0$
$y(1)=y_1$

нужно решить не прибегая к решению алгебраического уравнения....
Сведение к алгебраичскому уравнению очевидно, но этот вариант не подходит..
решение предполагается численное. Но идею можно сформулировать в любом виде...

Зарание признателен ответившим

[zhe]

что вы имеете в виду говоря, что нужно решать, не прибегая к алгебраическому выражению? Если решать численно, то можно попробовать хотя бы разностные схемы или исключить параметр t.

[незваный гость]

Думаю, что имеетсе в виду, что угадать это решение для конкретных заданных $f()$ и $g()$ легко. Требуется продемонстрировать общий подход.

[vlm]

Давайте поясню.
Решетить это уравнение алгебраически легко.
Для этого нужно положить
$y(0)=$\eta$.
В этом случае получается обычная задача Коши, которая легко решается, например, применением метода Рунге Кутта
То есть, имеем решение:
$x=x(t,\eta)$,$y=y(t,\eta)$.
Затем используя условие $y(1)=y_1$, получаем $y(1,\eta)=y_1$ - это и есть алгебраическое уравнение, которое крайне не желательно.
Дело в том, что это уравнение $y(1,\eta)=y_1$ практически можно решать только медленными методами типа метода золотого сечения или дихотомии. Метод Ньютона и подобные ему не подходят в силу известных ограничений.
В результате решение задачи занимает много машинных ресурсов (процессорного времени при численном расчете)
Поэтому, хотелось бы придумать какой-нибудь метод, который позволил бы отыскивать решение, сразу, не прибегая к решению уравнения $y(1,\eta)=y_1$

[незваный гость]

Вы можете посмотреть главу 17 Numerical recipes in C (Two Point Boundary Value Problems).

Мне приходят в голову два других (не описанных в этой книге) подхода. Оба по меньшей мере схожи с relaxation method в том, что задают значения на сетке. Во-первых, мне кажется, что для таких задач использовались аппроксимационные сплайны. Во-вторых, напрашивается генетический алгоритм (ГА). Он-то прост в реализации, как палка, и может оказаться самым быстро работающим решением.