Информационная ёмкость чисел

[Андрей АK]

Someone в сообщении #412306 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412300 писал(а):

А к чему стремится интервал $(1-\frac1N,1]$?

Что значит - "интервал стремится"? Дайте точное определение.

$N$ стремится к бесконечности, т.е. принимает любые, скольугодно большие значения.
В рядах мы же заменяем $ \frac1N $ нулем, почему здесь не можем?

Someone в сообщении #412306 писал(а):

Андрей АK в сообщении #412300 писал(а):

В конце концов, это только вопрос договоренности - входит ли в бесконечный ряд его предельная точка или нет.

Ни в коем случае не предмет договорённости.
Если Вы утверждаете, что среди интервалов $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)$, $N\in\mathbb N$, содержится отрезок $[1,2]$, то Вы тем самым берёте на себя обязательство указать конкретное натуральное число $N$, при подстановке которого получается $\left(1-\frac1N,2+\frac1N\right)=[1,2]$.
Так при каком натуральном $N$ выполняется последнее равенство?

Указать нельзя, но это только потому, что принято считать, что бесконечно большого числа не существует.
Однако, в проективной геометрии существует точка, соответствующая проекции - бесконечность.
Как это так?
Проекция от несуществующей точки?
А если я буду работать не с натуральными числами, а с их проекциями?
И в моей проекции будет точка соответствующая бесконечности (Тут уж я смогу указать конкретные координаты).
Точно также как с точками, я могу работать и с проекциями интервалов и вновь смогу получить проекцию интервала соответствующего бесконечно удаленному интервалу.
И этот интервал будет замкнут.
А ведь есть ,кажется, теорема что проекции открытых множеств - открыты, а замкнутых - замкнуты.
Следовательно можно считать (без потери общности) что всякий ряд содержит свою предельную точку.
Зато сколько полезных свойств сразу возникнет - например то что и бесконечное пересечение открытых множеств будет открытым.

[ewert]

Андрей АK в сообщении #412316 писал(а):

Следовательно можно считать (без потери общности) что всякий ряд содержит свою предельную точку.

Это утверждение бессмысленно. "Предельную точку" ряда Вы так формально и не определили.

[migmit]

Андрей АK в сообщении #412249 писал(а):

Самое последнее множество (когда $N$ равно бесконечности) - это уже не открытое, а замкнутое множество!

Вы опять несёте чушь.
Для просветления попробуйте рассмотреть такую вариацию предыдущего примера:

$$\bigcap_{N=1}^\infty\left(1+(-1)^N-\frac1N,4+(-1)^N+\frac1N\right)=[2,3]$$

Сомневаюсь, что вам удастся выдумать "случай, когда $N$ равно бесконечности".

Андрей АK в сообщении #412316 писал(а):

В рядах мы же заменяем $ \frac1N $ нулем, почему здесь не можем?

Ни в рядах, ни где-нибудь ещё мы не заменяем $\frac1N$ нулём.

Андрей АK в сообщении #412316 писал(а):

Однако, в проективной геометрии существует точка, соответствующая проекции - бесконечность.

Ошибаетесь, как раз в проективной геометрии ничего бесконечного нет. Это в обычной Евклидовой ещё бывает, а в проективной как раз всё конечно. Советую с ней хоть немножко познакомиться.

Андрей АK в сообщении #412316 писал(а):

А если я буду работать не с натуральными числами, а с их проекциями?

То будете решать не ту задачу.

Андрей АK в сообщении #412316 писал(а):

Следовательно можно считать (без потери общности) что всякий ряд содержит свою предельную точку.

Особенно, если у него нет ни предела, ни даже предельной точки (это разные вещи!)

[Андрей АK]

Ладно, я сейчас не готов спорить о бесконечных рядах.
Но до конца не убежден.

[Droog_Andrey]

Интуитивно натуральным числам $N$ я бы приписал "ёмкость", равную $\sum\limits_{k=1}^N\frac1k$ нат.

[Андрей АK]

Droog_Andrey в сообщении #418523 писал(а):

Интуитивно натуральным числам $N$ я бы приписал "ёмкость", равную $\sum\limits_{k=1}^N\frac1k$ нат.

Нет, интуитивно информационная ёмкость любого натурального числа - это количество бит, которое требуется для записи этого числа (т.е. его двоичный логарифм).
Но ,если есть способ записать то же само число короче (например разложив его на множители) - то ,возможно, его информационная ёмкость будет меньше.

[svv]

Андрей АK писал(а):

Но ,если есть способ записать то же само число короче (например разложив его на множители) - то ,возможно, его информационная ёмкость будет меньше.

А если такая более короткая запись совпадёт с обычной записью другого, меньшего числа, сделанной "без всяких хитростей"? Чтобы не спутать, Вам нужно вводить дополнительный признак, поясняющий, как истолковывать эту запись. А этот признак тоже занимает место. (Вам ли это объяснять? Вы же сами, кажется, что-то такое говорили.) Если же считать, что комментарий к расшифровке вообще ничего не стоит в смысле занимаемого места, то любое число можно записать нулем, и даже нуль не требуется.

[Андрей АK]

svv в сообщении #418706 писал(а):

Андрей АK писал(а):

Но ,если есть способ записать то же само число короче (например разложив его на множители) - то ,возможно, его информационная ёмкость будет меньше.

А если такая более короткая запись совпадёт с обычной записью другого, меньшего числа, сделанной "без всяких хитростей"? Чтобы не спутать, Вам нужно вводить дополнительный признак, поясняющий, как истолковывать эту запись. А этот признак тоже занимает место. (Вам ли это объяснять? Вы же сами, кажется, что-то такое говорили.) Если же считать, что комментарий к расшифровке вообще ничего не стоит в смысле занимаемого места, то любое число можно записать нулем, и даже нуль не требуется.

Да, комментарий тоже требует места.
Но я рассуждаю об идеальных вариантах - может тут никаких комментариев не надо учитывать?
Ведь мы даже не представляем - сколько на него нужно информации угробить (поскольку способов записи числа бесконечно много, то комментарий потребует бесконечно большой информации для записи?)

И ,к стати, я тут не подумал, но разложив число на множители мы только увеличим их ёмкость, например "$15=3*5$" ;15 записывается 4 битами, 3 - двумя, 5 - тремя.
3*5 требует 2+3=5 бит - это больше, чем 4.

[Tod Leben]

Андрей АK в сообщении #418713 писал(а):

15 записывается 4 битами, 3 - двумя, 5 - тремя.

Количество бит у всех чисел одинаково:
.....000000000000000000000=0
.....000000000000000000001=1
...............................................
.....000000000000000000011=3
...............................................
.....000000000000000000101=5
...............................................
.....000000000000000001111=15
...............................................
.....000000000000010000111=135

Андрей АK в сообщении #418713 писал(а):

3*5 требует 2+3=5 бит - это больше, чем 4.

И ещё разделитель добавьте между числами,чтоб отличать одно от другого!

[Droog_Andrey]

Андрей АK в сообщении #418702 писал(а):

Droog_Andrey в сообщении #418523 писал(а):

Интуитивно натуральным числам $N$ я бы приписал "ёмкость", равную $\sum\limits_{k=1}^N\frac1k$ нат.

Нет, интуитивно информационная ёмкость любого натурального числа - это количество бит, которое требуется для записи этого числа (т.е. его двоичный логарифм).
Но ,если есть способ записать то же само число короче (например разложив его на множители) - то ,возможно, его информационная ёмкость будет меньше.

Я очень рад, что у Вас есть своё мнение, но, похоже, Вы при этом слепо отвергаете другие мнения и не готовы их рассматривать, т.к., например, даже не спросили у меня, почему именно $\sum\limits_{k=1}^N\frac1k$.

[timinva]

По моему, число не имеет никакой информационной емкости, точнее ее информационная емкость равна нулю. Например, любое число, хоть иррациональное, можем представить символом "a" (в каком-то определенном контексте, в котором никакие другие числа и символы не используются) с нулевой информационной емкостью: 1 = 2^0. Информационную емкость может иметь представление числа, например, с помощью последовательности символов. Эта последовательность может быть и алгоритмом. И представить таким способом с помощью конечного количества символов можно только конечное множество чисел. "Информационная емкость" такого числа будет определяться количеством возможных символов и примененных символов. Если не считать контекста.

[vsg]

Андрей АK,
Вы путаете информацию и её закодированное представление (данные).

Цитата:

Любое число, которое можно задать алгоритмом можно записать при помощи конечного набора символов.
Число $\pi$, например, можно описать следующей фразой: "Число, равное отношению длины окружности к диаметру" - имеет конечное число символов, что и требовалось.

Получается что, хотя $\pi$ имеет бесконечное число знаков (в десятичной записи) но информации в себе содержит не более чем на 52 буквы.

"$\pi$", "$4 arctan 1$", "Число, равное отношению длины окружности к диаметру" - это разные методы кодирования одной и той же информации. Например, можно использовать такой код, что в его словаре бит 1 будет значить $\pi$, а бит 0 будет значить что-то еще, и таким образом записывать (кодировать) число $\pi$ всего одним битом.

Цитата:

Согласно тому факту, что информация не сжимаема, мы не можем "выжать" из её больше, чем требуется для минимальной записи этого числа.
Числа не представимые алгоритмами должны иметь бесконечную информативность - т.е. ни в какой системе отсчета их нельзя записать конечным набором символов.

Если правильно выбрать систему отсчета, то в ней можно записать любое конечное количество чисел (даже бесконечных). Например, символ "1" может кодировать число $\pi$, символ "2" - число $e$, и т.д., при этом закодированное сообщение будет конечной длины.