Треугольник с целыми сторонами, медианами и плошадью?

[Sandor]

Существует ли треугольник с целочисленными
сторонами, медианами и площадью?

Решение дилеммы предполагает определения общих явных формул, генерирующих треугольники Герона и существования у них трёх целочисленных медиан. Сложность первой проблемы заключается в решении переопределённого диафантова уравнения Герона. Известны формулы – оглашенные общими формулами – фактически частные, полученые методами геометрии, без учёта свойств диофантова уравнений. Решение второй проблемы предполагает решения первой проблемы. Исходя из формул, одна медиана ненатуральная, при наличии одной нечётной стороны у треугольников. Поэтому необходимо исследовать чётно-подобные треугольники Герона.

Решение первой проблемы

Треугольники Герона – общие треугольники с целочисленными сторонами и площадью. Их свойства определяет уравнение:
$\[w^2 = p(p - x)(p - y)(p - z) = V_1 V_2 V_3 V_4 ,\]$ где x,y,z- стороны, w- площадь, p- полупериметр, $\[(V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 ) = d = 1 - \]$ значения сомножителей неоднородныого уравнения.

Уравнение переопределённое: $\[j = i > k = 3,\]$ где $\[j - \]$ число сомножителей,$ \[i - \]$ число отличных, действительных линейных сомножителей, $\[k - \]$ число переменных $\[f(x,y,z).\]$ Оно имеет решение, если полученные из $\[i = k = 3\]$ сомножителей значения переменных в остаточном сомножителе дают отвечающее одночлену число. Значение площади треугольников Герона – чётное, поэтому исследование при $\[w = 2w_1 + 1\]$ не требуется.

Запишем вариант и неявные формулы решения:

$$\left\{ \begin{gathered} p = V_1 , \hfill \\ p - x = V_2 \hfill \\ p - y = V_3 \hfill \\ p - z = V_4 \hfill \\ \end{gathered} \right.,p = V_1 = \left( {x + y + z} \right)/2,x = V_1 - V_2 ,y = V_1 - V_3 ,z = V_1 - V_4 ,V_1 > V_2 ,V_3 ,V_4 .$$

Проблему составляет подбор значений сомножителей: $\[w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = V_2 + V_3 + V_4 .\]$

Тайну решения кроет общая тайна треугольников Пифагора и Герона!

Решение переопределённого диофантова уравнения требует независимой, внешней информации: треугольники Герона заодно треугольники Пифагора, либо суммы, или разности двух таких треугольников. Поэтому они – подобно треугольникам Пифагора – исходят из пар натуральных чисел! Значение площади треугольников Пифагора чётное, поэтому значение площади треугольников Герона тоже чётное! Внутренняя высота треугольника однозначно делит его на два прямоугольных треугольника. Для треугольников Герона это треугольники Пифагора, или из них исходящие. Значение высоты треугольников Герона натуральное, если треугольники пифагоровы и рациональное, если из них исходящие.

Существует пять видов неоднородных треугольников Герона:

- элементарный треугольник Герона, Пифагора: $\[x_1 ,y_1 ,z_1 ,\left( {x_{2j} ,y_{2j} ,z_{2j} } \right),\left( {x_{2i} ,y_i ,z_{2i} } \right),\]$
- сумма треугольников с общим чётным катетом: $\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = y_1 + y_{2j} ,\]$
- разность треугольников с общим чётным катетом:$\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = |y_1 - y_{2j} |,\]$
- сумма треугольников с общим нечётным катетом: $\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = x_1 + x_{2i} ,\]$
- разность треугольников с общим нечётным катетом:$\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = |x_1 - x_{2i} |.\]$

Рисунок (http://www.szijjartosandor.hu, страница 252):

Определение исходных треугольников.

Исходные треугольники генерирует уравнение Пифагора:

$\[x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 ,x_1 = 2U_1 U_2 ,y_1 = U_2^2 - U_1^2 ,z_1 = U_2^2 + U_1^2 ,\]$ где $ \[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N.\]$

Набор треугольников Пифагора одноразовый и бесконечный.

Определение дополнительных треугольников, исходящих из чётного rатета

Треугольники генерирует уравнение Пифагора при $\[\Psi _{2j} > \Psi _{1j} ,(\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} ) = d \geqslant 1,\]$

где $ \[k_j ,\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} - \]$ тройки чисел, получаемые факторизацией $\[U_1^2 U_2^2 :\]$

$\[U_1 U_2 = \sqrt {U_1^2 U_2^2 } = k_1 \sqrt {\Psi _{11} \Psi _{21} } = \cdot \cdot \cdot = k_{j - 1} \sqrt {\Psi _{1j - 1} \Psi _{2j - 1} } = k_j \sqrt {\Psi _{1j} \Psi _{2j} } ,\]$

где $\[j - \]$ порядковый номер тройки, $ \[k_j - \]$ коэффициент подобия треугольников, $\[\sqrt {\Psi _{1j} } ,\sqrt {\Psi _{2j} } - \]$ натуральные или иррациональные пары.

Определение дополнительных треугольников:

$\[x_{2j} = 2k_j \Psi _{1j} \Psi _{2j} = x_1 = 2U_1 U_2 ,y_{2j} = k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 ),z_{2j} = k_j (\Psi _{2j}^2 + \Psi _{1j}^2 )\]$

Число дополнительных треугольников $\[j\]$определяется значением $\[U_1^2 U_2^2 .\]$

Определение сложных треугольников Герона, исходящих из чётного катета.

Треугольники получаем сложением и вычитанием компонентных треугольников:

$\[x = z_1 ,y = z_{2j} ,z = |y_1 \pm y_{2j} |,\]$ $\[x = U_2^2 + U_1^2 ,y = k_j (\Psi _{2j}^2 + \Psi _{1j}^2 ),z = |U_2^2 - U_1^2 \pm k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 )|,\]$ где $\[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N\]$ – пары чисел, $\[\Psi _{2j} > \Psi _{1j} ,(\Psi _{1j} ,\Psi _{2j} ) = d \geqslant 1,k_j - \]$ исходящие из $\[U_1^2 U_2^2 \]$ тройки.

Подстановкой значений неизвестных в исходные формулы, получаем:

$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \left( {x + y + z} \right)/2,V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$

$\[w = |x_1 y_1 \pm x_{2j} y_{2j} |/2 = U_1 U_2 \left[ {|U_2^2 - U_1^2 \pm k_j (\Psi _{2j}^2 - \Psi _{1j}^2 )|} \right]\]$

Определение дополнительных треугольников, исходящих из нечётного катета

Треугольники генерирует уравнение Пифагора при $\[Q_{2i} > Q_{1i} ,(Q_{1i} ,Q_{2i} ) = d \geqslant 1,\]$
где $\[k_i ,Q_{1i} Q_{2i} - \]$ тройка чисел, получаемая факторизацией $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 = Q^2 :\]$

$\[Q = \sqrt {(U_2^2 - U_1^2 )^2 } = k_1 \sqrt {Q_{11} Q_{21} } = \cdot \cdot \cdot = k_{i - 1} \sqrt {Q_{1i - 1} Q_{2i - 1} } = k_i \sqrt {Q_{1i} Q_{2i} } ,\]$

где $\[i - \]$ порядковый номер тройки, $\[k_i - \]$ коэффициент подобия треугольников, $\[\sqrt {Q_{1i} } ,\sqrt {Q_{2i} } - \]$ натуральные или иррациональные пары.

Определение дополнительных треугольников:

$\[x_{2i} = k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )/2,y_1 = y_{2i} = k_i Q_{1i} Q_{2i} ,z_{2i} = k_i (Q_{2i}^2 + Q_{1i}^2 )/2\]$

Число дополнительных треугольников $\[i\]$ определяется значением $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 .\]$

Определение сложных треугольников Герона, исходящих из нечётного катета:

Треугольники получаем сложением и вычитанием компонентных треугольников:

$\[x = z_1 ,y = z_{2i} ,z = |x_1 \pm x_{2i} |,\]$ $\[x = U_2^2 + U_1^2 ,y = \frac{{k_i Q_{2i}^2 + Q_{1i}^2 }}{2},z = \frac{{|4U_1 U_2 \pm k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )|}}{2},\]$где $\[U_2 > U_1 ,(U_1 ,U_2 ) = d \geqslant 1,U_1 ,U_2 \in N\]$ пары чисел, $\[Q_{2i} > Q_{1i} ,(Q_{1i} ,Q_{2i} ) = d \geqslant 1,k_i - \]$ исходящие из $\[(U_2^2 - U_1^2 )^2 \]$ тройки.

Подстановкой значений неизвестных в исходные формулы, получаем:

$$w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 ,V_1 = p = \left( {x + y + z} \right)/2,V_2 = V_1 - x,V_3 = V_1 - y,V_4 = V_1 - z,$$

$\[w = |x_1 y_1 \pm x_{2i} y_{2i} |/2 = (U_2^2 - U_1^2 )|4U_1 U_2 \pm k_i (Q_{2i}^2 - Q_{1i}^2 )|/4.\]$

Треугольники Пифагора генерируют множество треугольников Герона!

Число треугольников Герона, исходящих из пары $\[U_1 ,U_2 :\]$ $\[\Sigma = 3(j + i - 1),\]$ где

$\[j + i - 1 - \]$ число элементарных треугольников Герона,
$\[2j + 2i - 2 -\]$ число сложных треугольников Герона,
$\[\Sigma - \]$ сумма треугольников Герона,
$\[j - \]$ исходящие из чётного катета треугольники,
$\[i - \]$ исходящие из нечётного катета треугольники,
$\[ - 2 - \]$ случай равенства компонентных треугольников,
$\[ - 1 -\]$ исходный треугольник Пифагора.
/:Например, при значениях $\[U_1 = 15,U_2 = 28\]$
имеем: $\[\Sigma = 3(j + i - 1) = 3(276 + 6 - 1) = 843\] $:/

Предположим, что существуют и иные треугольники Герона. Эта возможность исключается однозначным разложением треугольников их внутренней высотой на два компонентных прямоугольных треугольника, исходящих из треугольника Пифагора, рассмотренным образом!

Определение однородных треугольников Герона:

Однородные треугольники исходят из неоднородных треугольников, или получаемы при

$$(V_1 ,V_2 ,V_3 ,V_4 ) = d \geqslant 2$$

и могут быть кратными.

Решение второй проблемы.

Негативное решение требует доказательства существования одной ненатуральной медианы в чётно-однородных треугольниках Герона. Запишем формулы медиан:

$$m_x = \frac{{\sqrt {2(y^2 + z^2 ) - x^2 } }}{2},m_y = \frac{{\sqrt {2(x^2 + z^2 ) - y^2 } }}{2},m_z = \frac{{\sqrt {2(x^2 + y^2 ) - z^2 } }}{2}.$$

Две стороны неоднородных треугольников Герона нечётные, одна чётная! Ибо при одной, или трёх нечётных сторонах значение площади треугольников – исходя из уравнения Герона – ненатуральное. Поэтому минимально две медианы неоднородных треугольников Герона дробные! Следовательно, необходимо исследовать чётно-однородные треугольники. Сокращение сторон однородных треугольников на нечётные делители на чётность сторон не влияет. А сокращение на наибольший чётный делитель приводит к неоднородному треугольнику с двумя нечётными и одной чётной стороной.

Исследование медиан элементарных чётно-однородных треугольников Герона:

Запишешем систему из двух уравнений. Первое – уравнение исходного чётно-однородного треугольника, второе – уравнение прямоугольного треугольника, исходящего из катетов и медианы исходного треугольника:

$$\left\{ \begin{gathered} x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 \hfill \\ x_1^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{y_1 }} {2}} \right)^2 \hfill \\ \end{gathered} \right..$$

Медиана натуральная, если система имеет нетривиальное натуральное решение:

$$x_1^2 = z_1^2 - y_1^2 = \left( {z_1 - y_1 } \right)\left( {z_1 + y_1 } \right) = U_1^2 U_2^2 ,$$

$$\left\{ \begin{gathered} z_1 - y_1 = U_1^2 \hfill \\ z_1 + y_1 = U_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,x_1 = U_1 U_2 ,y_1 = \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2},z_1 = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2},$$

где $ $U_2 > U_1 ,U_1 ,U_2 - $$чётные числа, ибо треугольник чётно-однородный.

Подставляя значения переменных во второе уравнение, имеем:

$$x_1^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{y_1 }}{2}} \right)^2 ,U_1^2 U_2^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right)^2 = \left( {m_y - \frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right)\left( {m_y + \frac{{U_2 - U_1 }}{4}} \right),$$

$$\left\{ \begin{gathered} m_y - \frac{{U_2 - U_1 }}{4} = U_1^2 \hfill \\ m_y + \frac{{U_2 - U_1 }}{4} = U_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_y = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2},\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) = 2\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right).$$

Система имеет только тривиальтное решение:

$$U_1 = 0,U_2 = 0.$$

Исследование сложных чётно-однородных треугольников Герона:

Запишешем систему из двух уравнений. Первое – уравнение дополнительного чётно-однородного треугольника, второе – уравнение прямоугольного треугольника, исходящего из катетов компонентных треугольников и медианы сложного треугольника:

$$\left\{ \begin{gathered} x_2^2 = z_2^2 - y_2^2 \hfill \\ x_2^2 = m_z^2 - \left( {\frac{z} {2} - y_1 } \right)^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,$$

где

$$x_2 = x_1 .$$

Медиана натуральная, если система имеет нетривиальное натуральное решение:

$$x_2^2 = z_2^2 - y_2^2 = \left( {z_2 - y_2 } \right)\left( {z_2 + y_2 } \right) = \Psi _1^2 \Psi _2^2 ,$$

$$\left\{ \begin{gathered} z_2 - y_2 = \Psi _1^2 \hfill \\ z_2 + y_2 = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,x_2 = \Psi _1 \Psi _2 ,y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},z_2 = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{2},$ $ где

$$\Psi _2 > \Psi _1 ,\Psi _1 ,\Psi _2 - $$

чётные числа, получаемые факторизацией

$$U_1^2 U_2^2 .$$

Подставляя значения переменных во второе уравнение, имеем:

$$x_2^2 = m_z^2 - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)^2 ,\Psi _1^2 \Psi _2^2 = \left[ {m_z - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)} \right]\left[ {m_z + \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right)} \right],$$

$$\left\{ \begin{gathered} m_z - \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \Psi _1^2 \hfill \\ m_z + \left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_z = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{2},\left( {\frac{z}{2} - y_1 } \right) = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},$$

$$\frac{{|y_1 \pm y_2 |}}{2} - y_1 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},\frac{{|\frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2} \pm \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }} {2}| - 2 \cdot \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{2}}}{2} = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2},$$

$$|\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) \pm \left( {\Psi _2^2 - \Psi _1^2 } \right)| = 2\left[ {\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) + \left( {\Psi _2^2 - \Psi _1^2 } \right)} \right].$$

Система имеет только тривиальтное решение:

$$U_1 = 0,U_2 = 0,\Psi _1 = 0,\Psi _2 = 0.$$

Из второго уравнения при значении

$$z = 2y_1 $$

получаем целочисленное значение медианы

$$m_z = x_2 = x_1 $$

равноберенного чётно-однородного треугольника Герона, поэтому необхоимо определить и значения его двух равных медиан.

Медианы пересекаются в одной точке и делятся на две части в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому можем записать уравнение прямоугольного треугольника:

$$\left( {\frac{{x_2 }}{3}} \right)^2 = \left( {\frac{{2m_{z2} }}{3}} \right)^2 - y_2^2 ,x_2^2 = \left( {2m_{z2} } \right)^2 - \left( {3y_2 } \right)^2 ,\Psi _1^2 \Psi _2^2 = \left( {2m_{z2} - 3y_2 } \right)\left( {2m_{z2} + 3y_2 } \right),$$

$$\left\{ \begin{gathered} 2m_{z2} - 3y_2 = \Psi _1^2 \hfill \\ 2m_{z2} + 3y_2 = \Psi _2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_{z2} = \frac{{\Psi _2^2 + \Psi _1^2 }}{4},y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{6}.$$

Подставляя значения переменной, имеем:

$$y_2 = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{2} = \frac{{\Psi _2^2 - \Psi _1^2 }}{6}.$$

Уравнение имеет только тривиальтное решение:

$$U_1 = 0,U_2 = 0,\Psi _1 = 0,\Psi _2 = 0.$$

Итог доказательства:не существует треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью!

[Sandor]

Дополнение к предыдущему сообщению.

Под пунктом "Исследование медиан элементарных....." в формулах упущен квадрат. Правильно:

Подставляя значения переменных во второе уравнение, имеем:

$$x_1^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{y_1 }}{2}} \right)^2 ,U_1^2 U_2^2 = m_y^2 - \left( {\frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{4}} \right)^2 = \left( {m_y - \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{4}} \right)\left( {m_y + \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{4}} \right),$$

$$\left\{ \begin{gathered} m_y - \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{4} = U_1^2 \hfill \\ m_y + \frac{{U_2^2 - U_1^2 }}{4} = U_2^2 \hfill \\ \end{gathered} \right.,m_y = \frac{{U_2^2 + U_1^2 }}{2},\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right) = 2\left( {U_2^2 - U_1^2 } \right).$$

[hurtsy]

Sandor в сообщении #410446 писал(а):

Итог доказательства:не существует треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью!

(Оффтоп)

Я не ошибся? В чем дискусионность Вашей темы?

Обьясните, пожалуйста, множество треугольников Герона и множество треугольников Пифагора имеют непустое пересечение или нет. В какое из этих множеств входят египетские треугольники? С уважением,

[Sandor]

hurtsy в сообщении #411800 писал(а):

Sandor в сообщении #410446 писал(а):

Итог доказательства:не существует треугольника с целочисленными сторонами, медианами и площадью!

(Оффтоп)

Я не ошибся? В чем дискусионность Вашей темы?

Обьясните, пожалуйста, множество треугольников Герона и множество треугольников Пифагора имеют непустое пересечение или нет. В какое из этих множеств входят египетские треугольники? С уважением,

Тема дискуссионная, так как она открытая, в полном объёме впервые выносится на рассмотрение, следовательно, требует подтверждения. Её первая часть публична на интернете c декабря 2010 года.

Множество треугольников Пифагора - в том числе и египетский треугольник - является подмножеством треугольников Герона, ибо все имею целые стороны и площади.
С уважением: Sándor

[hurtsy]

Спасибо. У египетского треугольника только одна медиана целочисленная и он подтверждает Ваш вывод. Все таки Ваше доказательство впечатляюще большое. С уважением.

[r-aax]

Sandor в сообщении #410246 писал(а):

треугольники Герона заодно треугольники Пифагора, либо суммы, или разности двух таких треугольников

Почему Вы так считаете?

[Sandor]

r-aax в сообщении #412195 писал(а):

Sandor в сообщении #410246 писал(а):

треугольники Герона заодно треугольники Пифагора, либо суммы, или разности двух таких треугольников

Почему Вы так считаете?

Треугольник Герона – треугольник с целыми сторонами и площадью. Этим требованиям треугольники Пифагора удовлетворяют. Без сомнения, этим требованиям удовлетворяют также их суммы и разности. Следовательно, необходимо доказать, что не существует треугольников Герона, получаемых не из треугольников Пифагора!

Рассмотрим общий треугольник, он имеет силу для любого треугольника. Его внутренняя высота однозначно делит его на два компонентных прямоугольных треугольника. Необходимо доказать, что для треугольников Герона это треугольники Пифагора или из них исходящие.

Значение внутренней высоты

$$m_a $$

треугольника Герона

$$a,b,c - $$

рациональное, исхоя из формулы:

$$m_a = \frac{{2S}}{a},a = a_1 + a_2 .$$

Рациональные также значения отрезков основания

$$a_1 ,a_2 .$$

Для доказательства от противного, предположим, что

$$a_1 = \sqrt k ,a_2 = a - \sqrt k - $$

иррациональные числа, где

$$k - $$

не является квадратом рациотального числа. Согласно теореме Пифагора, для дополнительного прямоугольного треугольника, имеем:

$$m_a^2 + a_2^2 = b^2 ,m_a^2 + \left( {a - \sqrt k } \right)^2 = b^2 ,\sqrt k = \frac{{a^2 - b^2 + m_a^2 + k}}{{2a}}.$$

Мы пришли к противоречию: иррациональные и рациональные числа не равны. Следовательно,

$$m_a = \frac{p}{q},a_1 = \frac{{p_1 }}{{q_1 }},a_2 = \frac{{p_2 }}{{q_2 }} - $$

рациональные числа, где

$$\left( {p,q} \right) = \left( {p_1 ,q_1 } \right) = \left( {p_2 ,q_2 } \right) = 1.$$

Теперь можем записать уравнения компонентных прямоугольных треугольников:

$$\left( {\frac{p}{q}} \right)^2 + \left( {\frac{{p_1 }}{{q_1 }}} \right)^2 = c^2 ,\left( {pq_1 } \right)^2 + \left( {p_1 q} \right)^2 = \left( {cqq_1 } \right)^2 ,\left( {\frac{p}{q}} \right)^2 + \left( {\frac{{p_2 }}{{q_2 }}} \right)^2 = b^2 ,\left( {pq_2 } \right)^2 + \left( {p_2 q} \right)^2 = \left( {bqq_2 } \right)^2 .$$

Тройки чисел

$$\left( {pq_1 ,p_1 q,cqq_1 } \right),\left( {pq_2 ,p_2 q,bqq_2 } \right) - $$

пифагоровые троки. Следовательно, стороны компонентных треугольников

$$\left( {m_a ,a_1 ,c} \right),\left( {m_a ,a_2 ,b} \right)$$

треугольника

$$a,b,c$$

получены из двух треугольников

$$\left( {pq_1 } \right)^2 + \left( {p_1 q} \right)^2 = \left( {cqq_1 } \right)^2 ,\left( {pq_2 } \right)^2 + \left( {p_2 q} \right)^2 = \left( {bqq_2 } \right)^2 $$

Пифагора – не объязательно неоднородных – умножением их сторон рациональными числами

$$\frac{1}{{qq_1 }},\frac{1}{{qq_2 }}$$

соответственно.

Вывод: сложные треугольники Герона состоят из двух компонентных треугольников Пифагора, или из них исходящих, других не существует!

С уважением: Sándor

[r-aax]

Рассмотрим треугольник со сторонами 5, 29, 30.
Его площадь - целое число.
Его можно представить в виде суммы/разности двух пифагоровых треугольников?
У меня не получилось, но я могу что-то упустить... суббота...

[svv]

А если требовать целочисленности только сторон и медиан, но не площади, то, например, $a=136$, $b=170$, $c=174$, $m_a=158$, $m_b=131$, $m_c=127$. Кстати, такие треугольники не так уж часто встречаются. Со сторонами до $200$ я нашел только этот.

[r-aax]

svv в сообщении #412379 писал(а):

Со сторонами до $200$ я нашел только этот.

Я прогонял со сторонами до 1000000. Других не нашел (с точностью до множителя)... Но, опять же, надо пересчитать.

[svv]

r-aax писал(а):

Я прогонял со сторонами до 1000000.

Страшно. Снимаю шляпу.

[r-aax]

svv в сообщении #412384 писал(а):

r-aax писал(а):

Я прогонял со сторонами до 1000000.

Страшно. Снимаю шляпу.

Там вероятные ветки очень быстро отсекаются. А вообще, тема интересная...

[dmd]

svv в сообщении #412379 писал(а):

А если требовать целочисленности только сторон и медиан, но не площади, то, например, $a=136$, $b=170$, $c=174$, $m_a=158$, $m_b=131$, $m_c=127$. Кстати, такие треугольники не так уж часто встречаются. Со сторонами до $200$ я нашел только этот.

До $1000$ таких несколько:

a= 174    b= 170    c= 136    ma= 127    mb= 131    mc= 158
a= 316    b= 262    c= 254    ma= 204    mb= 255    mc= 261
a= 348    b= 340    c= 272    ma= 254    mb= 262    mc= 316
a= 522    b= 510    c= 408    ma= 381    mb= 393    mc= 474
a= 580    b= 486    c= 226    ma= 244    mb= 367    mc= 523
a= 632    b= 524    c= 508    ma= 408    mb= 510    mc= 522
a= 650    b= 628    c= 318    ma= 377    mb= 404    mc= 619
a= 656    b= 414    c= 290    ma= 142    mb= 463    mc= 529
a= 696    b= 680    c= 544    ma= 508    mb= 524    mc= 632
a= 818    b= 772    c= 654    ma= 587    mb= 632    mc= 725
a= 870    b= 850    c= 680    ma= 635    mb= 655    mc= 790
a= 884    b= 510    c= 466    ma= 208    mb= 659    mc= 683
a= 948    b= 786    c= 762    ma= 612    mb= 765    mc= 783
a= 954    b= 892    c= 554    ma= 569    mb= 640    mc= 881

Есть мнение, что стороны строго чётны, а площадь (если она натуральна) кратна $15$.

[Sandor]

r-aax в сообщении #412375 писал(а):

Рассмотрим треугольник со сторонами 5, 29, 30.
Его площадь - целое число.
Его можно представить в виде суммы/разности двух пифагоровых треугольников?
У меня не получилось, но я могу что-то упустить... суббота...

Проработка вопроса требует больше времени. Я вернясь к нему!

С уважением: Sándor

-- Вс фев 13, 2011 22:23:07 --

dmd писал (а):

- Есть мнение, что стороны строго чётны, а площадь (если она натуральна) кратна 15.

Исходя из формул медиан, треугольник должен быть чётно-однородным. А его площадь не может иметь натурального значения! Или Вы получили такой треугольник?

С уважением: Sándor

[Sandor]

r-aax писал:

- Рассмотрим треугольник со сторонами 5, 29, 30. Его площадь - целое число. Его можно представить в виде суммы/разности двух пифагоровых треугольников?

Вкратце – да! Мы его получаем суммированием двух однородных треугольников Пифагора с общим чётным катетом

$$x_1 = x_2 = 120$$

и его последующим сокращением (можно получить и другой треугольник Герона, их вычитанием и сокращением: 25,145,136):

$$x_1^2 + y_1^2 = z_1^2 ,120^2 + 35^2 = 125^2 ,x_2^2 + y_{2j}^2 = z_{2j}^2 ,120^2 + 715^2 = 725^2 .$$

Полученный однородный треугольник Герона:

$$x^2 + y^2 = z^2 ,125^2 + 725^2 = 750^2 .$$

Сокращением уравнения на значение

$$25^2 ,$$

получаем исходное неоднородное уравнение:

$$x^2 + y^2 = z^2 ,5^2 + 29^2 = 30^2 .$$

Подробно:

Определим площадь неоднородного треугольника Герона: $\[w^2 = p(p - x)(p - y)(p - z) = V_1 V_2 V_3 V_4 ,\]$

$$p = V_1 = \left( {x + y + z} \right)/2,x = V_1 - V_2 ,y = V_1 - V_3 ,z = V_1 - V_4 ,p = V_1 = \left( {5 + 29 + 30} \right)/2 = 32,$$

$$V_2 = V_1 - x = 32 - 5 = 27,V_3 = V_1 - y = 32 - 29 = 3,V_4 = V_1 - z = 32 - 30 = 2,$$

$\[w^2 = V_1 V_2 V_3 V_4 = 32 \cdot 27 \cdot 3 \cdot 2 = 72^2 .\]$

Определим высоту и отрезки основания неоднородного треугольника Герона:

$\[m_z = \frac{{2w}}{z} = \frac{{2 \cdot 72}}{{30}} = \frac{{24}}{5} = \frac{p}{q},y_1^2 = z_1^2 - m_z^2 = 5^2 - \left( {\frac{{24}}{5}} \right)^2 = \left( {\frac{7}{5}} \right)^2 ,y_1 = \frac{7} {5} = \frac{{p_1 }}{{q_1 }},\]$

$\[y_{2j}^2 = z_{2j}^2 - m_z^2 = 29^2 - \left( {\frac{{24}}{5}} \right)^2 = \left( {\frac{{143}}{5}} \right)^2 ,y_{2j} = \frac{{143}}{5} = \frac{{p_2 }}{{q_2 }}.\]$

Запишем уравнения однородных компонентных треугольников Пифагора:

$$\left( {pq_1 } \right)^2 + \left( {p_1 q} \right)^2 = \left( {z_1 pq_1 } \right)^2 ,\left( {24 \cdot 5} \right)^2 + \left( {7 \cdot 5} \right)^2 = \left( {5 \cdot 5 \cdot 5} \right)^2 ,120^2 + 35^2 = 125^2 ,$$

$$\left( {pq_2 } \right)^2 + \left( {p_2 q} \right)^2 = \left( {z_{2j} pq_2 } \right)^2 ,\left( {24 \cdot 5} \right)^2 + \left( {143 \cdot 5} \right)^2 = \left( {29 \cdot 5 \cdot 5} \right)^2 ,120^2 + 715^2 = 725^2 .$$

Суммированием двух однородных тренгольников Пифагора с общим чётным катетом и его последующим сокращением, получаем исходное неоднородное уравнение:

$$x^2 + y^2 = z^2 ,5^2 + 29^2 = 30^2 .$$

svv в сообщении #412379 писал(а):

А если требовать целочисленности только сторон и медиан, но не площади, то, например, $a=136$, $b=170$, $c=174$, $m_a=158$, $m_b=131$, $m_c=127$. Кстати, такие треугольники не так уж часто встречаются. Со сторонами до $200$ я нашел только этот.

Этот вопрос рассматривался в теме "Существует ли треугольник?", автор: volchenok. Проблемой является представление общих явных формул для таких треугольников!

С уважением: Sándor