СЛАУ от Кострикина

[Sasha2]

Того, который из трех томов.

Ну а какая разница. матрица или система.
Цена вопроса тут, а не получится ли так, что в ходе таких преобразований мы получим одну строку и один столбец, целоком состоящие из нулей?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411818 писал(а):

Того, который из трех томов.

Ну а какая разница. матрица или система.

Да, я листанул. Изложение там действительно неудачное: смешаны в одну кучу цели и средства метода, системы и матрицы. Неудивительно, что Вы запутались.

Разницы по существу, может, и никакой, но вот для логики процесса -- есть, и очень значительная. Нет никакого смысла тянуть за собой именно уравнения: вся необходимая информация всё равно содержится только в элементах (расширенной) матрицы системы. К тому же структура матрицы (если у неё есть специфическаая структура) видна с первого взгляда, а вот для системы -- нет.

Так вот. Целью метода Гаусса является приведение (основной) матрицы системы к по возможности единичному виду. Или, в варианте метода с обратным ходом -- для начала к по возможности треугольному. Если какие-то строки в результате преобразований сокращаются (т.е. уменьшается количество уравнений), то ставится цель получить указанный вид для левой квадратной части матрицы. Тогда все переменные, соответствующие столбцам справа от этого квадрата, оказываются свободными, а те, что слева, через них однозначно выражаются, вот и всё.

Это -- если допустить перестановку столбцов (т.е. перенумерацию переменных). А если не допускать, то целью будет, вообще говоря, не треугольный, а ступенчитый вид матрицы, но там придётся дополнительные слова проговаривать, лень.

[Sasha2]

Ну я для себя из первого прочтения уяснил вот следующее:

1) Эквивалентные преобразования - это тривиально и все понятно.
2) Чтобы СЛАУ была совместной необходимо и достаточно проосто ступенчатого вида, то есть отсутствие уравнений вида $0=b_t$ с $b_t$ отличным от нуля.
3) А чтобы СЛАУ была определенной необходимо и достаточно треугольного вида.

И тут есть одна маленькая тонкость. А именно, как Вы правильно заметили, совместность или несовместность определяется расширенной матрицей, а вот определенность или неопределенность (естественно для совместных систем) определяется исключително обычной матрицей системы, то есть на определенность совместной системы свободные члены не влияют. Хотя, конечно, они определяют конкретные значения решений данной СЛАУ.

Все остальные следствия так себе, либо не особо значимы.
На практике метод Гаусса - это уровень средней школы.
Но вот вроде и все.

Попраьте, пожалуйста, если где-то чего-то недопонял.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411840 писал(а):

2) Чтобы СЛАУ была совместной необходимо и достаточно проосто ступенчатого вида, то есть отсутствие уравнений вида $0=b_t$ с $b_t$ отличным от нуля.
3) А чтобы СЛАУ была определенной необходимо и достаточно треугольного вида.

Определитесь с двумя вещами. Во-первых, что такое "ступенчатый вид" и что такое "треугольный", и как они соотносятся друг с другом; у Вас тут явная путаница. Во-вторых, к какой матрице (основной или расширенной) эти термины относятся -- тут тоже путаница.

[Sasha2]

Нет, ну конечно, ступенчатый вид - это понятие, которое относится исключительно к основной матрице системы.
Определение простое: Последовательность чисел, каждое из которых есть номер первой неизвестной (по порядку исходной нумерации) в текущем уравнении, коэффициент при которой отличен от нуля, является возрастающей. Понятно, что мы можем к этой матрице приписать еще и столбец свободных членов.

Определение треугольной я уже дал выше.

Ну понятно, что к каждой из них мы можем приписать еще и столбец свободных членов и рассматривать эту систему вкупе, памятуя при этом, что ступенчатость и треугольность это понятия, относящиеся к основной матрице системы. Вертикальной строки, отделяющей столбец свободных членов от основной матрицы, вполне достаточно для этих целей. Поэтому тут все в порядке.

Но ради удобства случай, когда в системе есть уравнения вида $0=b_t$ мы просто откинем, поскольку в данном случае мы либо сразу устанавливаем несовместность системы, либо имеем эти уравнения тождествами, что равносильно их откидыванию.

Вот и остаются в рассмотрении фактически эти ступенчатые и треугольные виды. Ну, конечно, треугольный вид - это частный вид ступенчатого, когда все неизвестные главные, то есть свободные неизвестные отсутствуют.

Вроде бы путаницы нет.

[ewert]

$\begin{pmatrix}1&0&0&0&*&*&*&\vline&*\\0&1&0&0&*&*&*&\vline&*\\0&0&1&0&*&*&*&\vline&*\\0&0&0&1&*&*&*&\vline&*\end{pmatrix}\qquad\begin{pmatrix}1&*&0&*&*&0&0&\vline&*\\0&0&1&*&*&0&0&\vline&*\\0&0&0&0&0&1&0&\vline&*\\0&0&0&0&0&0&1&\vline&*\end{pmatrix}$

Какие это матрицы?...

[Sasha2]

Обе этих матрицы (до вертикальной черты) являются ступенчатыми (вторая, конечно, при условии, звездочка после самой первой единички в первой строке - это ноль, две звездочки после единички во второй строке также нули, в противном случае, преобразования не завершены.)

[ewert]

Sasha2 в сообщении #412123 писал(а):

звездочка после самой первой единички в первой строке - это ноль, две звездочки после единички во второй строке также нули, в противном случае, преобразования не завершены.

Завершены. Ничего более простого получить невозможно.

И не нужно. Надо просто сразу выписать, исходя из этих матриц, общее решение системы.

[Sasha2]

Да ошибся. Смутил несколько непривычный вид. Конечно же обе этих матрицы ступенчаты.