СЛАУ от Кострикина

[Sasha2]

В учебнике Кострикина по алгебре есть следующие утверждения (я их привожу в сокращенном виде для экономии записи, но суть не меняется):

1) СЛАУ при $m=n$ является совместной и определенной тогда и только тогда, когда после привидения ее к ступенчатому виду, она приобретает треугольный вид.

2) СЛАУ при $m=n$ является совместной и определенной тогда и только тогда, когда ассоциированная с ней однородная система имеет только одно единственное решение.

Здесь $m$ - это число уравнений системы, а $n$ - это число неизвестных.

Меня терзают смутные сомнения на предмет того, что ограничение $m=n$ явно лишнее. То есть любая СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда приводима к треугольному виду. И со вторым утверждением также.
Прав ли я?

[sergey1]

Нет.
Матрицу совместной системы из двух уравнений с тремя неизвестными не привести к треугольному виду.

[Sonic86]

Цитата:

1) СЛАУ при $m=n$ является совместной и определенной тогда и только тогда, когда после привидения ее к ступенчатому виду, она приобретает треугольный вид.

Цитата:

Меня терзают смутные сомнения на предмет того, что ограничение $m=n$ явно лишнее.

Цитата:

То есть любая СЛАУ совместна тогда и только тогда, когда приводима к треугольному виду.

Потеряли определенность системы по дороге. Со вторым утверждением вроде так же. Для совместности $m=n$ вроде лишнее... Т.е. более правильно было бы 1) разбить на 1.1) и 1.2).

[Sasha2]

sergey1 в сообщении #411756 писал(а):

Нет.
Матрицу совместной системы из двух уравнений с тремя неизвестными не привести к треугольному виду.

Ну меня тут интересует прежде всего определенность, а совместность указывается только для того, чтобы подчеркнуть, что данная система приводится к ступенчатому виду. Поэтому в утверждениях слова "совместная и определенная" - это не то, что просто совместная.

Но все же переформулирую тогда так: Совместная СЛАУ является определенной тогда и только тогда, когда приводится к треугольному виду.
Со вторым утверждением также.

[ewert]

В первом утверждении равенство действительно формально излишне и приведено, скорее всего, просто за компанию. А вот во втором равенство уже принципиально. Утверждение о том, что существование решения линейной системы равносильно его единственности верно только для квадратных систем. Для переопределённых это утверждение неверно (а для недоопределённых вопрос бессодержателен, т.к. единственность невозможна).

[Sasha2]

А здесь я тоже не совсем понял.
Ведь я рассуждаю для второго утверждения так:

Если однородная СЛАУ определена (а совместна она всегда), то значит она приводится к треугольному виду. А значит и соответствующая неоднородная система также приводима к треугольному виду, поскольку возможность такого приведения определяется исключительно содержанием ее левой части.

А для переопределенных систем просто есть соответствующее утверждение: При $n>m$ совместная СЛАУ всегда неопределена, в частности однородная СЛАУ всегда имеет ненулевое решение.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411767 писал(а):

А для переопределенных систем просто есть соответствующее утверждение: При $n>m$ совместная СЛАУ всегда неопределена, в частности однородная СЛАУ всегда имеет ненулевое решение.

Под переопределённостью имелось в виду, что количество уравнений больше количества неизвестных. В этом случае единственность решения однородной системы равносильна тому, что матрица имеет полный ранг. Но это вовсе не гарантирует существования решения соответствующей неоднородной системы.

[Sasha2]

А тогда да, я просто понял это по другому.
Но вообще то пока хотелось бы по максимуму разобраться, но только оставаясь в рамках метода Гаусса.

Я так понял, тут есть один достаточно тонкий момент, суть которого примерно в следующем: это число уравнений в исходной системе и число уравнений после приведения ее к ступенчатому виду.

Вот тоже хотелось понять в рамках метода Гаусса, что привести то мы ее допустим приведем к треугольному виду, а не получится ли так, что треугольник будет уже иметь длину диагонали равную не $n$, а например $n-1$ или $n-2$. То есть грубо говоря, одна неизвестная может принимать любое значение, а остальные определяются однозначно. Можно ли, оставаясь в рамках метода Гаусса показать, что такое невозможно?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411776 писал(а):

привести то мы ее допустим приведем к треугольному виду, а не получится ли так, что треугольник будет уже иметь длину диагонали равную не $n$, а например $n-1$ или $n-2$.

Вот именно такой вид и называется не треугольным, а ступенчатым или трапециевидным (в зависимости от вкуса и варианта метода Гаусса).

[Sasha2]

Нет он снова треугольный, но треугольник уже состоит не из $n$ элементов, а из их меньшего числа.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411781 писал(а):

Нет он снова треугольный,

Тогда лишается смысла сочетание слов

Sasha2 в сообщении #411755 писал(а):

после привидения ее к ступенчатому виду, она приобретает треугольный вид.

[Sasha2]

Ну почему лишается.
Сперва, например, было $n$ неизвестных. Предположим мы так исключили эти неизвестные, что осталось $n-1$ уравнений и $n-1$ неизвестное.
И вот эта система из $n-1$ уравнения с $n-1$ неизвестными имеет треугольный вид.
То есть ее матрица также обладает свойством $a_{ij}=0$, если $j<i$. Только строчек и столбцов уже не $n$, а $n-1$. Почему же мы отказываемся эту матрицу признавать треугольной?

[ewert]

Sasha2 в сообщении #411795 писал(а):

Предположим мы так исключили эти неизвестные, что осталось $n-1$ уравнений и $n-1$ неизвестное.

Не предположим. Мы никаких переменных в методе Гаусса не исключаем. Вот уравнения -- да, действительно могут случайно "исключиться", т.е. выродиться в тождества или в противоречия.

[Sasha2]

Почему же не исключаем, исключаем.
Не факт, что после проведения одной операции по исключению очередной неизвестной, коэффициенты при другой во всех последующих уравнениях не окажутся нулями. Я именно это и имел в виду.
Грубо говоря не получится ли так, что наша СЛАУ может распасться на (ну для примера) на две независимые системы. Интуитивно кажется, что такое поведение равносильно этому.

[ewert]

В методе Гаусса переменные как таковые не используются. Они с самого начала убираются из записи, оставляется только матрица, и дальше все формальные манипуляции проводятся только с этой матрицей. И лишь в самом конце -- когда решение уже закончено -- полученная матрица вновь интерпретируется как система уравнений.

Вы какого Кострикина пытаетесь читать?