Задача по теории вероятностей, про шары и ящик

[Joker_vD]

--mS-- в сообщении #411602 писал(а):

хоть в силу леммы Бореля - Кантелли, хоть по закону нуля и единицы Колмогорова

Вот она, польза образования! Раз, и вот он ответ без лишних сложностей. Увы, мне читали не настолько полный курс теории вероятностей, чтобы в нем была лемма Бореля-Кантелли.

[Skipper]

Цитата:

Пусть $A_n$, $n=1,2,\ldots$ - последовательность событий (в данной задаче $A_n$ = {на $n$-м шаге вынут белый шар}), и событие $A$ состоит в том, что произойдёт бесконечное число событий $A_n$.
Если $\sum_{n=1}^{\infty}\mathsf P(A_n) <\infty$, то $\mathsf P(A)=0$.
Если события $A_n$ независимы в совокупности (в данной задаче это так) и $\sum_{n=1}^{\infty}\mathsf P(A_n) =\infty$, то $\mathsf P(A)=1$.

Значит, в нашей задаче мы должны вытащить бесконечное количество шаров. Потому что
$\sum_{N=1}^{\infty}\mathsf 1/[ln ^ 2 N] = \infty$

Более того, если бы черные шары подбрасывали в ящик еще чаще - после каждой попытки, и во время попытки $N$ , количество черных было бы равно $N$ (а это больше чем $[ln ^ 2 N]$ ), все равно мы вытащили бы бесконечное количество белых шаров, т.к.
$\sum_{N=1}^{\infty}\mathsf 1/N = \infty$
это сумма гармонического ряда, которая равна бесконечности.

А вот если бы черные шары подбрасывали еще чаще, и их там во время попытки $N$, было бы например, $N^2$, тогда бы мы уже не вытащили бы бесконечное количество белых шаров - после какой то попытки мы бы не вытащили ни одного белого шара далее за бесконечное количество попыток. Потому что,
$\sum_{N=1}^{\infty}\mathsf 1/N^2 < \infty$

[--mS--]

Совершенно справедливо.

[Skipper]

Ну что ж, тогда если распределение простых чисел подчиняется обычным законам вероятностей, и статистически на большом промежутке - не отличается от нашей выборки белых шаров, тогда количество простых чисел-близнецов (которые стоят рядом, точнее через одно четное - например 41, и 43) - будет БЕСКОНЕЧНЫМ. Ведь вероятность того что встретятся два простых числа-близнеца - в окрестности $N$ (точнее $N$ и $(N + 2)$ для случайного выбранного нечетного $N$), равна $1/[ln ^ 2 N]$, такая же как в описанной задаче. Но пока не доказано, что распределение статистически не будет отличаться. Может существовать какая нибудь причина, из-за которой два простых числа-близнеца не встретятся никогда в интервале от какого то $N$ до бесконечности.