Об измерении, циркуле и линейке

[juna]

Какая же новация, а какой другой смысл за этим еще можно увидеть.
Про деление на равные части не понял - что пояснить? Делите по теореме Фалеса отрезок на $n$ равных частей, каждая часть - это единица, и извлекаете корень из $n$
Кстати, по предыдущему посту, чтобы не возникало неясностей как найти общую меру любых двух отрезков - по алгоритму Евклида (меньшим измеряете больший, тем, что осталось измеряете предыдущий остаток и т.д. процесс оборвется на отрезке, который измерит оба искомых).

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я не перепутал. Если одну сторону этого прямоугольника принять за единицу, то извлекете квадратный корень из отрезка.

Простите, но в Вашем утверждении ни о каком прямоугольнике речи не идет. Сравните сами:

Артамонов Ю.Н. писал(а):

С помощью циркуля и линейки можно: строить отрезок, равный сумме, разности, произведению, частному двух данных, можно построить отрезок, равный квадратному корню из заданного. Т.е. максимум - квадратичные иррациональности.

Более того, давайте рассмотрим два подобных прямоугольника. Согласно Вашему определению, их корни окажутся равны . Я почему-то уверен, что Вы имели в виду что-то другое.

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Я не перепутал. Если одну сторону этого прямоугольника принять за единицу, то извлекете квадратный корень из отрезка. И это действительно задача квадратуры прямоугольника. А то, что выбор единичного отрезка для заданного произволен (делите на любое число равных частей) - никто не спорит.

По простоте душевной, раньше думал, что отрезок может быть корнем квадратным только из площади (из величины, выражающей площадь). Спасибо, просветили.

[juna]

Ух, устал
Я имел в виду, то что написано - описал те алгебраические действия, которые можно проделать циркулем и линейкой (для большей ясности уточню - для отрезков, у которых определена единица - измеряющий их отрезок)

[AndAll]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Ух, устал
Я имел в виду, то что написано - описал те алгебраические действия, которые можно проделать циркулем и линейкой (для большей ясности уточню - для отрезков, у которых определена единица - измеряющий их отрезок)

В задачах на построение единица измерения отрезков не определена. $\sqrt 2 ,\sqrt 3 , \ldots $ и т.д. , Вы можете получить как отношение построенных отрезков. Построение квадратных корней из отрезков с помощью циркуля и линейки - Ваша фантазия. Если определена единица измерения, то задача не геометрическая, а арифметическая.

[juna]

Позволю себе предположить, что древние греки, от которых пришли эти задачи, также не делали различий между геометрическим и арифметическим и трактовали числа именно как отрезки. Квадратный корень из отрезка - может кого-то и коробит, но это выражение вполне осмысленно. К тому же частное двух отрезков, произведение двух отрезков не выразишь через отрезки без введения меры и не решишь например, геометрическую задачу: для заданного прямоугольника построить равновеликий прямоугольник с заданной стороной. Так что фантазировал я вместе с древними греками.

[незваный гость]

Дамы и господа!

«Измерение» и построение при помощи циркуля и линейки, безусловно, интересная тема. Настолько, что я предлагаю выделить ее в отдельную тему. Поскольку к «самому большому числу…» она относится лишь косвенно. И постепенно происходит захват чужой темы.

// нг

[juna]

Я постоянно пытаюсь закончить, а вы говорите - начнем сначала.
Начнем!

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

Позволю себе предположить, что древние греки, от которых пришли эти задачи, также не делали различий между геометрическим и арифметическим и трактовали числа именно как отрезки.

И в Средние века тоже. Например, если я правильно помню, так была сформулирована теорема Ферма.

Артамонов Ю.Н. писал(а):

К тому же частное двух отрезков, произведение двух отрезков не выразишь через отрезки без введения меры и не решишь например, геометрическую задачу: для заданного прямоугольника построить равновеликий прямоугольник с заданной стороной.

Но уж тут-то Вы строите не совсем частное. Вы строите $d = \frac{a \, b}{c}$, что не тоже самое.

[juna]

Ваше замечание справедливо, но я не утверждал, что в этой задаче нужно построить частное, нужно имено то и построить, что Вы указали. Вообще, в такой теме нужно бы все эти рассуждения дополнить картинками. Сегодня лень рисовать, я и так был гиперактивен без особого толка. Нарисую завтра.

[незваный гость]

Прежде, чем начинать рисовать, может быть расставим точки на i ? Вы утверждали, что при помощи циркуля и линейки доступны операции сложения, вычитания, умножения, деления отрезков и извлечения квадратного корня.

Если Вы имеете в виду, что все, что можно сделать при помощи циркуля и линейки сводимо к этим операциям — это верно. Но если Вы утверждаете, что можно извлечь квадратный корень из отрезка — я позволю себе усомниться. Несмотря на то, что можно построить прямоугольник, равновеликий квадрату, сторона квадрата — $\sqrt{a\,b}$, а не $\sqrt{a}$. Все сказанное относится и к умножению с делением.

Кроме того, выбрав произвольный отрезок, и приписав ему длину 1, Вы в дальнейшем можете строить отрезки, длина которых описывается описанными Вами операциями. Но сначала — выбор единичного отрезка, введение длины. А в задачах на построение он обычно не задан.

[juna]

Я не знаю построения, которое давало бы произведение, частное двух отрезков $a,b$ в виде отрезка без задания измеряющего их отрезка $e$. Можно, конечно, говорить, что мы строим для произведения $\frac{ab}{e}$ и для частного $\frac{a}{b}e$, но какой в этом толк.
Для квадратуры прямоугольника мы можем, конечно, обойтись без измеряющего отрезка и построить $\sqrt{ab}$, поэтому выбор $b=e$ формально сужает наши возможности. Но ведь есть задачи на построение, где без измеряющего отрезка не обойтись, зачем же таскаться с корнем из произведения - и с чувством трепета говорить, что мы можем с помощью циркуля и линейки брать квадратный корень из произведения двух отрезков, когда само это произведение в виде отрезка мы может получить только введя $e$.
К тому же задача нахождения $e$ - это тоже задача построения, известная как алгоритм Евклида нахождения НОД.

[незваный гость]

Артамонов Ю.Н. писал(а):

К тому же задача нахождения $e$ - это тоже задача построения, известная как алгоритм Евклида нахождения НОД.

Ну что Вы! Никто, нигде и никогда не требовал рациональности соотношения отрезков. Ну задан у нас прямоугольник со сторонами $\sqrt2, \sqrt3$, так что, теперь мы не можем построить равновеликий квадрат? Конечно, можем! но алгорифм Евклида тут не при чем.

Выбор единичного отрезка произволен. То, о чем Вы говорите, можно формализовывать как сокращение нотации с $e$, но без $e$ это не работает.

[juna]

Так и я ничего такого не требую. Просто конструктивно построение всегда начинаем с каких-то отрезков, которые измеряются нацело. Отрезки длиной $\sqrt{3}$, $\sqrt{2}$ Вам просто так с потолка не свалятся (можно найти меру измеряющую их оба нацело).Можно, конечно, говорить, что нам выдали три отрезка - мучайтесь. Но тогда как минимум два из них можно померить нацело (правда оставшийся можно вообще не померить)

[незваный гость]

Нельзя. Построение начинается с заданных фигур, про которые не известно ничего, кроме сказанного в условии. Построить квадрат, равновеликий треугольнику. Или построить окружность, касающуюся трех данных непересекающихся окружностей. Нигде ни слова о рациональности соотношения радиусов. И предполагать ее, как минимум, смело.