Задачи по линейной алгебре (Винберг)

[caxap]

ВП = векторное пространство

2.1. Найти число векторов $n$-мерного ВП $V$ над конечным полем $K$ из $q$ элементов.

$V\simeq K^n$, а в $K^n$ может быть $q^n$ элементов.

2.2. Доказать, что пространство всех непрерывных функций на любом промежутке $X$ числовой прямой бесконечномерно.

(Наверно подразумевается, что промежуток содержит более 1 точки.) Если брать все функции, а не только непрерывные, то базисом буду дельта-функции $\delta_a$, равные единице только в точке $a$, иначе $0$.

Если рассматривать непр. функции, то у меня затруднения. Мои мысли: непрерывную функцию достаточно определить только на $X\cap \mathbb Q$, но и это множество бесконечно, а значит и базис из функций $\delta_a$ тоже содержит бесконечное число элементов. Нужно показать, что нельзя определить непр. функцию на менее, чем счётном, т. е. конечном, множестве так, чтобы она потом восстанавливалась на всём $X$. Пусть мы её определили с помощью конечного числа точек. Возьмём две соседние. Между ними какой-то ненулевой промежуток и нет других точек, поэтому между ними мы можем немного изменить функцию, оставляя её непрерывной. Противоречие.

[mdn]

1. Верно.
2. Достаточно заметить, что система функций $1, x, ..., x^n$ линейно независима для любого $n$.

[caxap]

mdn в сообщении #410871 писал(а):

2. Достаточно заметить, что система функций $1, x, ..., x^n$ линейно независима для любого $n$.

А разве всякая непрерывная функция выражается через полином? $|x|$ в частности?
А в моём доказательств есть ошибки?

[mdn]

Если бы пространство было конечномерным, скажем размерности $m$, то любая система из $m+1$ векторов была бы линейно зависима.

[ewert]

caxap в сообщении #410879 писал(а):

А в моём доказательств есть ошибки?

Есть. Сужай на рациональные, не сужай -- Ваши "дельта-функции" непрерывными никак не станут.

caxap в сообщении #410879 писал(а):

А разве всякая непрерывная функция выражается через полином?

А зачем представлять?... Достаточно того, что многочлен сам по себе непрерывен.

А ещё достаточнее -- что для каждого интервала можно сочинить непрерывную функцию с носителем именно в этом интервале. Ну а непересекающихся интервалов можно сочинить, естественно, сколько угодно.

[caxap]

ewert в сообщении #410884 писал(а):

Ваши "дельта-функции" непрерывными никак не станут.

Ой

ewert в сообщении #410884 писал(а):

А зачем представлять?... Достаточно того, что многочлен сам по себе непрерывен.

Но ведь мы же должны любую функцию $f$ на $X$ разложить по базису $(1,x,x^2,\ldots)$, т.е. $f(x)=\sum_{k\ge 0} f_k x^k$. И доказать, что при конечном базисе найдётся функция, которая не раскладывается по нему. Я ещё с первым пунктом не разобрался, вот как разложить, например, $f(x)=|x|$? Для формулы Тейлора необходима дифференцируемость, но существуют непрерывные недифференцируемые функции.

[mdn]

Не нужно ничего раскладывать по базису.

Цитата:

Если бы пространство было конечномерным, скажем размерности $m$, то любая система из $m+1$векторов была бы линейно зависима.

[caxap]

Ой-ой-ой... ну я даю! Спасибо всем.

[ewert]

caxap в сообщении #410889 писал(а):

Но ведь мы же должны любую функцию разложить по базису

Не должны. Понятие размерности непосредственно с базисом вообще никак не связано. Размерность -- это максимально возможное количество линейно независимых элементов, и всё. И только если вдруг это количество окажется конечным -- только тогда начинаются разговоры про базис.

[caxap]

ewert
Да, я понял. Сам не знаю, почему меня так унесло на столь простой задаче.

2.3. Найти число базисов $n$-мерного ВП над полем из $q$ элементов.

В качестве первого вектора $\vec e_1$ можно взять $q^n-1$ векторов (исключаем нулевой вектор). В качестве второго $\vec e_2$: из возможных $q^n$ векторов нужно исключить те, которые получаются из первого; их $q$ штук (включая $\vec 0$). Третьим вектором $\vec e_3$ не могут быть векторы вида $a_1 \vec e_1+a_2\vec e_2$; их $q\cdot q$ штук. И т. д. Получаем количество базисов $(q^n-1)(q^n-q)(q^n-q^2)\cdots (q^n-q^{n-1})$. Для поля $\mathbb Z_2$ вроде сходится (должно быть 6 базисов, по формуле тоже получаем $(2^2-1)(2^2-2)=6$), но сомнения некоторые есть -- может что-то напутал.

[mdn]

Верно.

[caxap]

Спасибо за проверку, mdn.

2.5. Доказать, что $\mathbb R$ как векторное пространство над $\mathbb Q$ не является счётномерным.

Хотел доказать от противного. Пусть это ВП счётномерно. Тогда будет счётный базис $(e_1,e_2,\ldots)$ из вещественных чисел, и любое число $x\in\mathbb R$ линейно выражается через него с коэффициентами $x_k\in \mathbb Q$: $x=\sum\limits_{k\in\mathbb N} x_k e_k$.

Но ведь так оно и есть! Любое $\mathbb R$-число $x=\sum\limits_{k\ge 0} x_k 10^{-k}$, $x_k\in \{0,1,\ldots,9\}$. Что-то я не понимаю

[Padawan]

caxap в сообщении #410986 писал(а):

Что-то я не понимаю

Определение базиса.

[caxap]

Padawan
Ой, $10^{-k}$ зависимы. Вы на это указывали?
Но всё равно из первого представления $x$ выходит, что $x$ задаётся счётным набором рациональных чисел $x_k$. Так и есть.

[MaximVD]

Зачем Вы ищете базис? Вам нужно лишь показать, что в указанном линейном пространстве существует несчётный набор линейно независимых векторов.

В произвольном линейном пространстве сумма ряда элементов этого пространства не определена, потому что не понятно, что понимать под сходимостью ряда. В линейной алгебре почти всегда (насколько мне известно) работают только с конечными линейными комбинациями. Не пытайтесь представлять что-либо в виде рядов.

Аккуратное определение линейной размерности линейного пространства такое: это мощность такого линейно независимого набора векторов, что любой вектор данного линейного пространства можно представить в виде конечной линейной комбинации векторов из указанного набора.
(Для справки - можно показать, что если есть 2 таких набора, то их мощности равны.)

Значит, если вы укажете какой-то несчётный набор линейно независимых векторов, то вы уже гарантируете, что пространство не счётномерно. При этом каждый вектор пространства вовсе не обязан "раскладываться" по этому набору.