Плотность вероятности функции случайных величин (отношение)

[mihalko1803]

Есть, допустим, $Z=\frac{X}{Y}$, $X$,$Y$ - независимые, даны $f_x(x), f_y(y)$ - плотности вероятности. Надо найти плотность вероятности $Z$ - $f_z(z)$. Для этого обязательно надо искать функцию $f(x, y)$ - закон распределения или нет? И откуда следует формула

$f_z(z) = \int\limits_{0}^{\infty}yf(zy, y)dy - \int\limits_{-\infty}^{0}yf(zy, y)dy$?

[ShMaxG]

Если меня не глючит, то должно быть так: (пусть меня поправят, если что не так)

$\[{F_Z}\left( z \right) = \mathbb{P}\left\{ {\frac{X} {Y} \leqslant z} \right\} = \mathbb{P}\left\{ {X \leqslant zY,Y > 0} \right\} + \mathbb{P}\left\{ {X \geqslant zY,Y < 0} \right\}\]$

Для первого слагаемого, учитывая независимость сл.в. $X$ и $Y$:
$\[\mathbb{P}\left\{ {X \leqslant zY,Y > 0} \right\} = \int\limits_0^{ + \infty } {\mathbb{P}\left\{ {X \leqslant zy} \right\}{f_Y}\left( y \right)dy} = \int\limits_0^{ + \infty } {\left[ {\int\limits_{ - \infty }^{zy} {{f_X}\left( x \right)dx} } \right]} {f_Y}\left( y \right)dy\]$

Аналогично для второго слагаемого.

Потом вспоминаете, как функция плотности распределения относится к функции распределения.

И как совместная функция плотности относится к функциям распределения каждой из сл.в.

[mihalko1803]

ShMaxG, спасибо, я давно не заходил не сайт, но нашел теорию, и у меня то же самое получилось.