Вопрос по топологии

[maxmatem]

Лемма
Пусть $X$-паракомпактное пространство, $F$,$M$- два его не пересекающихся подмножества, при чём $F$-замкнуто. Предположим, что $F$ покрыто открытыми множествами $U_{i}$, замыкания которых не пересекаются с множеством $M$, тогда для множеств $F$,$M$ существуют не пересекающиеся окрестности.
Доказательство.

Рассмотрим покрытие $\[\Gamma ' = \{ X\backslash F,U_i \} \]$ пространства $X$. Пусть
$\[\{ V_i \} \]$ вписанное в $\[{\Gamma '}\]$ локально конечное подпокрытие . Тогда $\[\Delta = \{ V_i |V_i \cap F \ne \emptyset \} \]$ покрытие $F$.
Положим

$$ W = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {V_i } $$

Так как покрытие $\[\Delta \]$ локально конечно,
то

$$ K = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {[V_i ]} $$

замкнутое множество..
Значит $W$ и $\[X\backslash K\]$ искомые окрестности.

Вопрос:
$\[W = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {V_i } = F\]$ ?

т.к $\[\Delta \]$ покрытие множества $F$.

[Someone]

maxmatem в сообщении #410787 писал(а):

Вопрос:
$\[W = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {V_i } = F\]$ ?

С чего бы вдруг? $F$ - замкнуто и, вообще говоря, не открыто, а $W$ открыто как объединение открытых множеств. Но если $F$ открыто, то равенство возможно (хотя и не обязательно, если специально об этом не позаботиться).

[maxmatem]

Someone
Да $F$ -замкнуто, но ведь $\[\Delta = \{ V_i |V_i \cap F \ne \emptyset \} \]$ покрытие $F$.
Раз оно покрытие то объединение множеств этого семейства и должно давать $F$? или я чего путаю...ведь $W$ и есть такое объединение.

[Someone]

"Покрытие" означает, что $\bigcup\{V_i:V_i\in\Delta\}\supseteq F$.

[maxmatem]

Someone
как-то странно, я во многих учебниках читал, что покрытие мн-ва $X$ называется такое семейство его подмножеств, что их объединение есть мн-во $X$ .
Пусть таким семейством будет

$$ \Delta = \{ V_i |V_i \cap F \ne \emptyset \} $$

Тогда

$$ F = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {V_i } $$

Или я опять неправ?

[Виктор Викторов]

Когда говорят о покрытии пространства, то речь идет о таком семействе его подмножеств, что их объединение есть множество $X$. Но, если речь идет о покрытии множества, то включение может быть и строгим. Если Вам это не нра, перейдите к подпространству.

[Someone]

maxmatem в сообщении #410799 писал(а):

как-то странно, я во многих учебниках читал, что покрытие мн-ва $X$ называется такое семейство его подмножеств, что их объединение есть мн-во $X$ .
Пусть таким семейством будет

$$\Delta = \{ V_i |V_i \cap F \ne \emptyset \}$$

Тогда

$$F = \bigcup\limits_{V_i \in \Delta } {V_i }$$

Я Вам уже объяснял, почему такое равенство может быть невозможным. Чего Вы там не поняли?
Попробую ещё раз.
По условию той леммы, доказательство которой Вы рассматриваете, множества $V_i$ - открытые подмножества пространства $X$, в противном случае определяемое там множество $W$ не будет открытым. Множество $F$ по условию замкнуто, но не обязано быть открытым. Если открытое множество $V_i$ содержит граничную точку множества $F$, то заведомо $V_i\not\subseteq F$, поэтому заведомо $W\supset F$ и $W\neq F$.

maxmatem в сообщении #410799 писал(а):

я во многих учебниках читал, что покрытие мн-ва $X$ называется такое семейство его подмножеств, что их объединение есть мн-во $X$ .

Если речь идёт о покрытии подмножествами, то равенство будет. В Вашем случае $V_i$ не обязаны быть подмножествами $F$, поэтому равенства может не быть (и не будет, если $F$ не открыто).

maxmatem в сообщении #410787 писал(а):

Пусть
$\[\{ V_i \} \]$ вписанное в $\[{\Gamma '}\]$ локально конечное подпокрытие .

Термин "подпокрытие" употреблён незаконно. Покрытие $\beta$ называется подпокрытием покрытия $\alpha$, если каждый элемент покрытия $\beta$ является элементом покрытия $\alpha$, то есть, если $\beta\subseteq\alpha$. В случае вписанного покрытия это, вообще говоря, не так.

[Someone]

maxmatem, кажется, я понял, в чём причина Ваших затруднений. Дело в том, что покрытие действительно определяется так, как Вы написали, поэтому применять этот термин к семейству $\Delta$ не следует. И, например, у Энгелькинга (Общая топология. Москва, "Мир", 1986) в доказательстве Леммы 5.1.4 этот термин к семейству $S_0$ (которое определяется точно так, как Ваше $\Delta$) не применяется.
Однако можно расширить определение покрытия, чтобы охватить случаи, аналогичные семейству $\Delta$, и тогда можно будет называть это семейство покрытием множества $F$. Но в таком случае расширенное определение нужно сформулировать явно.

[maxmatem]

Someone
Спасибо, за полезный совет по поводу Леммы у Энгелькинга. Я разобрался в в данной лемме. Ещё раз огромное спасибо за проявленный интерес.