Путь точки в пространстве.

[gris]

По мотивам старинной задачи.

Точка начинает непрерывное и безостановочное движение в пространстве. В любой момент времени существует точка пространства, посещённая нечётное количество раз. Добавление: точка не может за конечное время посетить какую-то точку пространства бесконечное количество раз.

Я думаю, что формализация тривиальна. Очевидно ли это утверждение? Легко ли строится контрпример? Есть ли где решение?

Я, к сожалению, не могу привести какие-то свои соображения за неимением таковых.

[Gortaur]

gris
Я в первый раз о ней слышу и думал, что предлагаю ее химикату, Вы знаете решение у меня вопрос о формулировке, хотелось бы точнее.

Есть произвольное топологическое пространство $X$ и непрерывное отображение $f:[0,\infty)\to X$. Показать, что для любого $T>0$ существует $t'\leq T$ такое что $\#\{t\leq T:f(t) = f(t')\}$ нечетно?

-- Вт фев 08, 2011 19:12:36 --

И вообще, пространство это как-то несерьезно. Давайте начнем с точки на прямой. Начинает она из нуля.
Возьмем некоторый промежуток $[0,T]$. Функция по В. имеет свой максимум и минимум на данном промежутке.
1. один из них нечетная точка.
2. если оба максимум и минимум четно раз посещенные, то...

[svv]

Надо ещё как-то отразить в записи тот факт, что подвижная точка не может останавливаться и некоторое время стоять на одном месте. Или же считать такую остановку за одно посещение соответствующей точки пространства.

[Gortaur]

Словом, "формализация тривиальна" - уже не то чтобы очевидно.

[gris]

Ну вообще-то формализация проведена выше, но я бы добавил запрет бесконечного посещения какой-либо точки за конечное время, так как тогда понятие чётности теряет смысл и довольно легко построить пример, когда во всех точках четное число посещений, а в одной — бесконечное.
На самом деле я долго пытался безуспешно построить контрпример, но пока не получилось.

[Lazy]

У меня два варианта:
1) по-моему, его и невозможно построить в силу несчетности $R$.
2) что если взять в пространстве движение по прямой из A в B и обратно по той же траектории?

Или я глупости говорю?

[MrDindows]

Что если взять круг ( ну или любую замкнутую не пересекающуюся линию), и точку А с которой даная точка начинает движение по этой линии. И пусть даная точка пройдёт круг дважды, тогда в момент времени, когда даная точка будет минимально близко к точке А, но не посетит её, получается, что даная точка посетила все точки круга ровно два раза=)
Или так - минимально близко- нельзя?)

[svv]

Lazy писал(а):

1) по-моему, его и невозможно построить в силу несчетности $R$.

Отрезок, круг, парабола -- всё это несчётные множества точек, но математика с этим справляется.

Lazy писал(а):

2) что если взять в пространстве движение по прямой из A в B и обратно по той же траектории?

Точка B была посещена только 1 раз.

MrDindows писал(а):

Или так - минимально близко- нельзя?

Да, так нельзя.

[Cave]

Существует непрерывная и "безостановочная" функция, которая принимает каждое свое значение континуум раз. С ней что делать?

[Gortaur]

MrDindows, так нельзя, см. мою формализацию. Кстати, условие что точка не посещает какую-то точку бесконечное число раз за конечное время достаточно сильно и может быть приведет к доказательству.

-- Ср фев 09, 2011 01:29:07 --

Cave, смотрите сообщение ТС относительно непосещаемости.

[Cave]

Gortaur в сообщении #410779 писал(а):

Cave, смотрите сообщение ТС относительно непосещаемости.

Нашёл, спасибо.

[Munin]

Как быть с кривой Пеано?

[Gortaur]

Насколько я помню ее построение, на конечном интервале она от обычной кривой мало чем отличается, не так ли?

[gris]

А при чём тут кривая Пеано?
У неё есть кратные точки, но в качестве контрпримера она вряд ли годится. К тому же я думаю, что контрпримера-то и нет.
Была надежда, что в пространстве такую кривую можно построить.

[Dirstal]

по-моему, это невозможно...