Путь точки в пространстве.

[gris]

Вот и мне кажется, что невозможно и что этому есть какое-то простое топологическое обоснование. Возможно, что это вообще известный факт для топологов. А может быть это какая-то знаменитая нерешённая задача. Вот я и хотел бы это узнать.
Я эту задачу не придумывал. Только придал ей немного иную форму. А для отрезка она уже обсуждалась на форуме, но как-то безрезультатно.

[Gortaur]

Давайте про прямую. Число локальных экстремумов ограничено на конечном промежутке?

[gris]

Тогда уж про отрезок. Вот формулировка: функция, непрерывная на отрезке и каждое своё значение принимающая конечное число раз, некоторое значение принимает нечётное число раз. Не хотелось бы ограничивать число экстремумов. Их и так не более, чем счётное количество. Но можно вначале и ограничить. Даже вообще рассматривать только ломаные с конечным числом звеньев.

[Gortaur]

Я не имел ввиду ограничивать искуственно, не следует ли это из формулировки?

[gris]

Функция непрерывная на отрезке $[0;1]$ каждое своё значение принимает конечное число раз. Доказать, что существует значение, принимаемое нечётное число раз.
Но меня интересует именно пространственный вариант.

[Munin]

gris в сообщении #411024 писал(а):

А при чём тут кривая Пеано?

При том, что хотя она и дефинирована, сказать, сколько раз она проходит через данную иррациональную точку, затруднительно: мы можем определить эту точку только как предел сходящихся последовательностей точек или областей. Как дефинировать кратность посещения таких пределов?

-- 09.02.2011 19:23:10 --

gris в сообщении #411068 писал(а):

Но меня интересует именно пространственный вариант.

Вы либо сведёте пространственный вариант к варианту на отрезке (поскольку точка будет заметать в пространстве некоторый граф), либо вляпаетесь в какие-нибудь аналоги кривой Пеано.

-- 09.02.2011 20:00:27 --

gris в сообщении #411068 писал(а):

Функция непрерывная на отрезке $[0;1]$ каждое своё значение принимает конечное число раз. Доказать, что существует значение, принимаемое нечётное число раз.

Вообще, в такой формулировке задача упрощается. Надо полностью отвлечься от множества значений и его структуры, и рассматривать отношение эквивалентности на множестве определения. Доказать, что в отрезке $[0,1]$ "нечётное число точек", или сформулировать условия, когда это, возможно, не так.

-- 09.02.2011 20:13:43 --

Munin в сообщении #411090 писал(а):

Доказать, что в отрезке $[0,1]$ "нечётное число точек"

Как мы можем подойти к этой задаче?
1. Извлекать пары точек по одной. Тогда у нас останется $\mathfrak{c}$ точек, довольно дырявого вида. Бесконечный процесс, конца ему не видно.
2. Извлекать целые интервалы, полуинтервалы, отрезки, сопоставляя их парами один к одному. Тогда есть возможность исчерпать отрезок за обозримое (конечное или счётное) число шагов. Строительный мусор - концевые точки - можно прибрать способом 1. Но наивные попытки показывают, что у нас получается либо $\mathfrak{c},$ либо $\aleph_0,$ либо нечётное конечное число точек. Возможно, со вторым вариантом можно удачно сыграть.
3. Отвлечься вообще от стандартной топологии на $[0,1].$ В этот момент вспоминается построение Банаха-Тарского. Если оно возможно для шара, должно быть возможно и для отрезка.

[sup]

Имеется контрпример. Непрерывная функция $f(x): [0,1] \to R$ и бесконечно дифференцируемая в каждой точке (0,1) , принимает каждое значение либо 2, либо 4, либо 6 либо 8 раз. Это такие самоподобные волны, которые все быстрее колеблются (с уменьшением амплитуды) по мере приближения $x$ к 1. Скорее всего можно организовать и бесконечную дифференцируемость на [0,1]. А можно предъявить просто кусочно-линейную функцию (ломаную). Но звеньев у нее бесконечное число. С другой стороны, для функций с конечным количеством локальных экстремумов гипотеза, похоже, легко доказуема.
Ломаная выглядит так. Прежде всего $f(0)=0$. Далее функция растет до 1 потом падает до 1/2 вновь растет до 1 и падает до 1/2. И вот здесь она растет до, скажем, 3/4. Дальше процесс повторяется самоподобным образом (повторяя такую характерную букву М). Ну и наконец $f(1)=0$. Все это без труда можно загладить.

[Someone]

Нельзя поподробнее? Что там будет дальше, после того, как функция дорастёт до $\frac 34$. Сглаживать не надо.

[sup]

Наша цель, чтобы экстремумов с одинаковым значением $f$ было четное количество (коряво сказано ....ну да ладно. Не умею картинки рисовать). Характерное поведение ломаной - вверх до $A_1$, вниз до $B_1$, и снова вверх до $A_1$, вниз до $B_1$. Экстремумов со значениями $A_1$ и $B_1$ организовалось в точности по 2 штуки. Теперь выбираем новую пару $A_2,B_2$, такие, что $B_2 < B_1 < A_2 < A_1$. И снова организуем такой вот характерный зигзаг. И так далее. Все это потихоньку стягивается к точке (1,0) (но не достигает её). Все это можно так организовать, чтобы соответствующие $A_k,B_k$ образовали геометрические прогрессии. При этом все экстремумы лежат на 4-х прямых, проходящих через точку (1,0). Картинка похожа на бесконечные колебания между 2-я прямыми. Ну вот как то так.

[Padawan]

sup в сообщении #411160 писал(а):

Ну и наконец $f(1)=0$

Точка разрыва?

[gris]

Я похожий контрпример строил, но получается, что в нуле бесконечное число пересечений либо разрыв.


Причём это если значения на концах равны.
Если не равны, тоже можно эту пилу зажать между двумя прямыми с небольшим выносом каждого второго экстремума, но проблема с бесконечным числом пересечений в правой точке остаётся.

[sup]

Картинка похожа, но только с наклоном.
Ну вот что то такое.

И все эти волны устремляются "вниз и вправо" к точке (1,0), так что там никакого разрыва не будет.
Если перечислять только экстремумы, то получится ряд
$a_1,b_1,a_1,b_1,a_2,b_2,a_2,b_2, ... a_k,b_k,a_k,b_k ....$
При этом у Вас gris
$a_k > a_{k+1} >b_{k+1} >b_k$
А у меня
$a_k > a_{k+1} >b_{k} >b_{k+1}$ и
$a_{k+2} < b_{k}$