Разложение многочленов Чебышева в полином

[Tuzembobel]

Добрый день!
Известно, что многочлены Чебышева $T_n(x)$, где

$$ T_n(x)= \begin{cases} \cos n\arccos x , & x\in [-1, 1] \\ (\mbox{sgn}x)^n\ch n\ \mbox{arcch}\,|x|, & x\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty) \end{cases} \eqno(1) $$

разлагаются в полином в формуле:

$$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{n-2k},\eqno(2)$$

где $a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C_{n-k}^k2^{n-2k-1}$.
Построим график функции заданной формулой (1) (при $n=44$):


Теперь построим график многочлена (2), который является разложением $T_n(x):$

В окрестности точек $\pm 1$ невооруженным глазом видно, что они не похожи. И вообще, визуально, разницы между ними не видно при $n<42$, а уже при $n\ge 42$ они очень сильно отличаются.
Почему такое происходит?

(Все это сделано в Maple 9.5 buld 155251)
Строим график полинома:

M:=44;  
l:=trunc(M/2); 
c:=array(0..l); 
c[0]:=2^(M-1); 
k:=0; while k<l do c[k+1]:=-c[k]*( (M-2*k)*(M-2*k-1) )/( 4*(k+1)*(M-k-1) ); k:=k+1; end do; T:=sum(c[i]*x^(M-2*i), i=0..l);   
plot(T, x=-1..1);

Строим график функции (1):

w:= proc(x) if (x>-1) and (x<1) then C(x):=cos(M*arccos(x)) else cosh(M*arccosh(x)) end if end proc; plot(w, -1..1);

(Строго не судите, в Maple я знаю лишь неделю. Строил аналогичное в MatLab, такой же результат)

[незваный гость]

Думаю, дело в ошибках округления.

Plot[ChebyshevT[44, x], {x, -1, 1}, PlotRange -> {-3, 3}];