2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Разложение многочленов Чебышева в полином
Сообщение20.11.2006, 13:54 


24/09/06
26
Добрый день!
Известно, что многочлены Чебышева $T_n(x)$, где
$$
T_n(x)=
\begin{cases}
\cos n\arccos x , & x\in [-1, 1] \\
(\mbox{sgn}x)^n\ch n\ \mbox{arcch}\,|x|, & x\in (-\infty, -1)\cup (1, +\infty)
\end{cases} \eqno(1)
$$
разлагаются в полином в формуле: $$T_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{[\frac{n}{2}]}a_kx^{n-2k},\eqno(2)$$
где $a_k=(-1)^k\frac{n}{n-k}C_{n-k}^k2^{n-2k-1}$.
Построим график функции заданной формулой (1) (при $n=44$):
Изображение

Теперь построим график многочлена (2), который является разложением $T_n(x):$
Изображение
В окрестности точек $\pm 1$ невооруженным глазом видно, что они не похожи. И вообще, визуально, разницы между ними не видно при $n<42$, а уже при $n\ge 42$ они очень сильно отличаются.
Почему такое происходит?

(Все это сделано в Maple 9.5 buld 155251)
Строим график полинома:
Код:
M:=44; 
l:=trunc(M/2);
c:=array(0..l);
c[0]:=2^(M-1);
k:=0; while k<l do c[k+1]:=-c[k]*( (M-2*k)*(M-2*k-1) )/( 4*(k+1)*(M-k-1) ); k:=k+1; end do; T:=sum(c[i]*x^(M-2*i), i=0..l);   
plot(T, x=-1..1);

Строим график функции (1):
Код:
w:= proc(x) if (x>-1) and (x<1) then C(x):=cos(M*arccos(x)) else cosh(M*arccosh(x)) end if end proc; plot(w, -1..1);


(Строго не судите, в Maple я знаю лишь неделю. Строил аналогичное в MatLab, такой же результат)

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение20.11.2006, 17:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


17/10/05
3709
:evil:
Думаю, дело в ошибках округления.

Код:
Plot[ChebyshevT[44, x], {x, -1, 1}, PlotRange -> {-3, 3}];


Изображение

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Karan, Toucan, PAV, maxal, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group