Функция Лагранжа системы

[Иван_85]

Точечная масса $m_1$ движется по гладкой сфере радиуса $R$, а масса $m_2$-по вертикали. Они связаны невесомой нитью, пропущенной через малое отверстие в наивысшей точке сферы. Найти функцию Лагранжа системы.

$L=T-U$,
$T=\frac{m_2}{2}\dot r_2^2+\frac{m_1}{2}R^2\dot\theta_1^2$,
$U=-m_2gr_1+m_1gR\cos\theta_1$, где
$(r_1, \theta_1, \phi_1)$ и $(r_2, \theta_2, \phi_2)$ - сферические координаты первой и второй точки соответственно.
В итоге
$L=\frac{m_2}{2}\dot r_2^2+\frac{m_1}{2}R^2\dot\theta_1^2+m_2gr_1-m_1gR\cos\theta_1$.
Правильно?
Далее,
$\dot r_2=R\dot\theta_1$, подставим это в функцию Лагранжа.
$L=\frac{m_2+m_1}{2}\dot r_2^2+m_2gr_1-m_1gR\cos\theta_1$.
Теперь подставляем функцию Лагранжа в уравнение Лагранжа для $r_2$
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot r_2}-\frac{\partial L}{\partial r_2}=0$,
$\ddot r_2=\frac{m_2g}{m_1+m_2}$. Решение этого уравнения с начальными условиями $r_2(0)=r_0, \dot r_2(0)=v_0$:
$r_2=r_0+v_0t+\frac{m_2gt^2}{2(m_1+m_2)}$, но насколько я понимаю такого быть не может. Подскажите где ошибка.

[Утундрий]

Иван_85 в сообщении #410240 писал(а):

$\dot r_2=R\dot\theta_1$, подставим это в функцию Лагранжа.

Рано. Проинтегрируйте эту связь, сведя ее к голономной и исключите из функции Лагранжа одну из двух неизвестных: $r_2$ или $\theta_1$.

[Иван_85]

А что же запрещает формально подставить это в уравнение Лагранжа до интегрирования?

[Утундрий]

Иван_85 в сообщении #410256 писал(а):

А что же запрещает формально подставить это в уравнение Лагранжа до интегрирования?

Некий Лагранж, которого множители. Тут уж одно из двух: или к голономным или множители...

[Иван_85]

Так правильно?
Уравнение Лагранжа для $r_2$:
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot r_2}-\frac{\partial L}{\partial r_2}=0$,
$\ddot r_2-g=0$.
Уравнение Лагранжа для $\theta_1$:
$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot \theta_1}-\frac{\partial L}{\partial \theta_1}=0$,
$\ddot \theta-\frac{g}{R}\sin\theta=0.$
Теперь теперь можно воспользоваться $\dot r_2=R\dot\theta_1$?

[whiterussian]

Понимаю, что это просто опечатка, но все-же подправьте потенциальнию энергию для $m_2$

[Иван_85]

Правка к заголовочному посту:
$U=-m_2gr_2+m_1gR\cos\theta_1$,
считаем, что масса $m_2$ находиться ниже центра сферической системы координат, нулевой уровень потенциальной энергии установили в центре системы координат.

[Утундрий]

Иван_85 в сообщении #410277 писал(а):

Так правильно?

Нет, так как не учтены силы реакции вызванные присутствием нити.

P.S. Хотел было быстренько нагуглить подходящую ссылку, но с удивлением обнаружил, что оные не нагугливаются. Посему, рекомендую вопрошающему самостоятельно обратиться к первому тому курса теорфизики Ландау и Лифшица под названием "Механика", где на различных сферах, стержнях и прочих интуитивно понятных штуках детально разобраны по косточкам и Лагранж и д'Аламбер.