Доказать монотонность функции на замкнутом интервале.

[Виктор Викторов]

Пусть на открытом интервале $(-a, a)$ дана дифференцируемая четная функция $f(x)$. Как доказать, что существует замкнутый интервал [0, b] на котором функция $f(x)$ монотонна?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #409793 писал(а):

Как доказать, что существует замкнутый интервал [0, b] на котором функция монотонна?

Никак.

[gris]

$y=x^2\sin\frac1{|x|}; y(0)=0$

[Gortaur]

Пример думаю - интеграл от броуновского движения,

$$ \int\limits w_tdt. $$

[ewert]

Проще косинус.

Или вообще $e^{-1/x^2}(2+\cos\dfrac{1}{x^3})$, чтобы уж совсем снять все вопросы.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #409802 писал(а):

Проще косинус.

Или вообще $e^{-1/x^2}(2+\cos\dfrac{1}{x^3})$, чтобы уж совсем снять все вопросы.

Как там с непрерывностью в нуле?

-- Вс фев 06, 2011 12:11:40 --

gris в сообщении #409800 писал(а):

$y=x^2\sin\frac1{|x|}; y(0)=0$

А дифференцируемость в нуле?

[ewert]

Виктор Викторов в сообщении #409804 писал(а):

Как там с непрерывностью в нуле?

Прекрасно. Как и с бесконечной дифференцируемостью.

[Виктор Викторов]

ewert в сообщении #409802 писал(а):

Проще Или вообще $e^{-1/x^2}(2+\cos\dfrac{1}{x^3})$, чтобы уж совсем снять все вопросы.

ewert в сообщении #409805 писал(а):

Виктор Викторов в сообщении #409804 писал(а):

Как там с непрерывностью в нуле?

Прекрасно. Как и с бесконечной дифференцируемостью.

Функция $e^{-1/x^2}(2+\cos\dfrac{1}{x^3})$ определена в нуле?

[gris]

По умолчанию доопределяется по непрерывности.
Но у меня есть лучше функция: $y=x^{2011}\sin\frac1x; y(0)=0$ (я аккуратнее, чем, не так ли?)

Производная в нуле по определению производной.

[Виктор Викторов]

Хороший пример. Спасибо. А теперь ещё один вопрос: Как доказать, что функция имеет экстремум в нуле? Причем не только Ваша, а любая заданная на открытом интервале $(-a, a)$ дифференцируемая четная функция $f(x)$.

[Null]

А у $y=x^{2011}\sin\frac1x; y(0)=0$ в 0 экстремум разве?

[AKM]

(gris'у об аккуратности)

gris в сообщении #409821 писал(а):

(я аккуратнее, чем, не так ли?)

Нет. Вы поленились вставить букву "e" из латиницы. Извините за наблюдательность.

[gris]

AKM, я так делал всего раза два. Усматриваю в этом отступление от почтительности и даже некоторое вольнодумство.
Виктор Викторов, моя функция не монотонна и даже не знакопостоянна ни на одном интервале, ограниченном нулём. Какой уж там экстремум.

[Виктор Викторов]

Null в сообщении #409835 писал(а):

А у $y=x^{2011}\sin\frac1x; y(0)=0$ в 0 экстремум разве?

gris в сообщении #409842 писал(а):

Виктор Викторов, моя функция не монотонна и даже не знакопостоянна ни на одном интервале, ограниченном нулём. Какой уж там экстремум.

Видеть-то вижу, но точка-то подозрительная на экстремум. Производная равна нулю. А можно ли найти такую же функцию, но чтобы производная в нуле была не нулевая?

[mihailm]

Виктор Викторов в сообщении #409845 писал(а):

... А можно ли найти такую же функцию, но чтобы производная в нуле была не нулевая?

у четной функции в нуле производная равна нулю (если есть)