Минимальное значение функции (школьными методами)

[myra_panama]

Найти минимальное значение функции:
$F(x,y)=\sqrt{x^2 +y^2-4x+2y+5} +\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+13}$
задачу можно решить если дифференцируем... но потребовалось найти элементарное(школьное) решение..

[Troll1984]

Единственное, что пока могу предложить - это выделить полные квадраты. А там будет видно.

[ewert]

Вам подкоренные выражения не напоминают чем-нибудь расстояний между парами точек?...

[Troll1984]

В данном случае функция справа представляет собой сумму расстояний от точки (x,y) до точек (2,-1) и (-3,2). Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

[Null]

Интересно как дифференцированием решить. Помоему сложновато будет.

[ewert]

Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):

Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

Неправильная постановка вопроса -- таких точек много. Надо найти, где (на каком множестве) эта сумма минимальна.

[Sasha2]

Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем:
$LHS=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(2-x)^2+(-y-1)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2} \ge \sqrt{(2-x+x+3)^2+(-y-1+y-2)^2}$. Дальше понятно.

[Troll1984]

ewert в сообщении #409722 писал(а):

Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):

Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

Неправильная постановка вопроса -- таких точек много. Надо найти, где (на каком множестве) эта сумма минимальна.

Суть та же.

[ewert]

Sasha2 в сообщении #409725 писал(а):

Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем:

Обалдеть. Какой Коши-Шварц, когда просто треугольник.

[Null]

По-моему он неравенство треугольника и использовал.

[mihailm]

Sasha2 в сообщении #409725 писал(а):

... Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем ...

(Оффтоп)

Неравенства Коши-Шварца не бывает, бывают неравенство Коши-Буняковского и неравенство Шварца

так же еще есть сапог Шварца

[Troll1984]

В любом случае они не входят в школьную программу.

[Sasha2]

Ну это в частном случае треугольник, а более общее неравенство звучит так:
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}$

[myra_panama]

Troll1984 в сообщении #409711 писал(а):

Единственное, что пока могу предложить - это выделить полные квадраты. А там будет видно.

$\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2} +\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}$
что дальше...ну я точно не знаю . Может принимаем метод векторов для векторы :
$a(x-2,y+1) , b(x+3,y-2)$
и используем коллинеарность векторов..

[Troll1984]

Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):

В данном случае функция справа представляет собой сумму расстояний от точки (x,y) до точек (2,-1) и (-3,2). Осталось найти точки, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.