2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Минимальное значение функции (школьными методами)
Сообщение06.02.2011, 15:50 
Найти минимальное значение функции:
$F(x,y)=\sqrt{x^2 +y^2-4x+2y+5} +\sqrt{x^2+y^2+6x-4y+13}$
задачу можно решить если дифференцируем... но потребовалось найти элементарное(школьное) решение.. :roll:

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 15:52 
Единственное, что пока могу предложить - это выделить полные квадраты. А там будет видно.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 15:55 
Вам подкоренные выражения не напоминают чем-нибудь расстояний между парами точек?...

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:02 
В данном случае функция справа представляет собой сумму расстояний от точки (x,y) до точек (2,-1) и (-3,2). Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:26 
Интересно как дифференцированием решить. :?: Помоему сложновато будет. :-)

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:27 
Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):
Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

Неправильная постановка вопроса -- таких точек много. Надо найти, где (на каком множестве) эта сумма минимальна.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:38 
Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем:
$LHS=\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}=\sqrt{(2-x)^2+(-y-1)^2}+\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2} \ge \sqrt{(2-x+x+3)^2+(-y-1+y-2)^2}$. Дальше понятно.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:39 
ewert в сообщении #409722 писал(а):
Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):
Осталось найти точку, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

Неправильная постановка вопроса -- таких точек много. Надо найти, где (на каком множестве) эта сумма минимальна.


Суть та же.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:48 
Sasha2 в сообщении #409725 писал(а):
Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем:

Обалдеть. Какой Коши-Шварц, когда просто треугольник.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:51 
По-моему он неравенство треугольника и использовал.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:55 
Sasha2 в сообщении #409725 писал(а):

... Согласно одному из следствий неравенства Коши Шварца имеем ...


(Оффтоп)

Неравенства Коши-Шварца не бывает, бывают неравенство Коши-Буняковского и неравенство Шварца :D

так же еще есть сапог Шварца :D

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:56 
В любом случае они не входят в школьную программу.

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:57 
Ну это в частном случае треугольник, а более общее неравенство звучит так:
$\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}+...+\sqrt{a_n^2+b_n^2} \ge \sqrt{(a_1+a_2+...+a_n)^2+(b_1+b_2+...+b_n)^2}$

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 16:58 
Troll1984 в сообщении #409711 писал(а):
Единственное, что пока могу предложить - это выделить полные квадраты. А там будет видно.

$\sqrt{(x-2)^2+(y+1)^2} +\sqrt{(x+3)^2+(y-2)^2}$
что дальше...ну я точно не знаю . Может принимаем метод векторов для векторы :
$a(x-2,y+1) , b(x+3,y-2)$
и используем коллинеарность векторов.. :roll:

 
 
 
 Re: Минимальное значение
Сообщение06.02.2011, 17:00 
Troll1984 в сообщении #409715 писал(а):
В данном случае функция справа представляет собой сумму расстояний от точки (x,y) до точек (2,-1) и (-3,2). Осталось найти точки, сумма расстояний от которой до данных точек минимальна.

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group