О непрерывности производной

[gris]

Обычно в курсах излагаются основные теоремы и изложение это слишком линейно. Подробности и боковые отвлетвления приводятся в задачниках. Интересно почитать первоисточники. Для контрпримеров хорош известный Гелбаум.
Я, к сожалению, сходу не подскажу нужную Вам книгу. Со школьной математикой дело обстоит лучше. Например, известный учебник Адамара по геометрии и множество вспомогательных книг, да и "Квант". По анализу, наверное, тоже есть литература. Ведь покопаться в быстро пройденном материале очень интересно, тут я с Вами солидарен.

[Diom]

Цитата:

правда, они сильно зануды,

Ничего страшного. По "не занудам" я уже когда-то изучал, а теперь, как уже говорил выше, захотел блох половить, а для этого зануды - самое то
Спасибо :)

Цитата:

Для контрпримеров хорош известный Гелбаум.

Он у меня уж года четыре пылится на полке . Нужно будет полистать. Спасибо за совет.

[gris]

Матанализ, особенно его первые главы, считается инструментом в математике. Поэтому его стараются пройти побыстрее, чтобы начать применять в других дисциплинах, типа дифгема, теории вероятностей, не говоря уже о нематематических курсах. Специалисту иных точных наук поскорее бы до спецфункций добраться, ему эти теоремы существования и разная гелбауманская экзотика ни к чему. Конечно, для себя он может изучать математику подробно, а в серьёзной теоретической физике, вероятно, без этого и не обойтись.
Хотя классический матанализ, если не копаться в самых его основаниях, чем-то похож на школьную геометрию. Это очень стройное, красивое, самодостаточное сооружение, за века вылизанное и отполированное от пределов до интеграла Фурье. Структура учебного курса настолько устоялась, что принимается за структуру самой теории. Даже небольшие отклонения от последовательности изложения воспринимаются как нечто революционное.
По элементарной математике было написано много книг, дополняющих школьную программу и призванных приохотить юных умников к серьёзной науке. Студента такими лакомствами не заманишь, да и нет, наверное, надобности. Поэтому и нет сильно расширенных общеизвестных курсов. Хотя в том же "Кванте" уделялось внимание и начальным главам из анализа. Пишу, а у самого так и всплывают перед глазами книжки, где всё-же было написано достаточно и про пределы, и про интегралы.
А чем плох Ваш путь — самому выстроить кусочек теории с величайшими подробностями, со множеством примеров и контрпримеров. Для понимания лучше любого учебника. Тем более, что сессия не висит над Вами дамокловым мечом.

[maxmatem]

Diom

Цитата:

не могли бы вы подсказать неплохую книгу(кроме Фихтенгольца) где излагались бы такие подробности

Когда у меня был анализ, мне очень нравился двухтомник Кудрявцева Л.Д "Курс математического анализа"
книга очень хорошая, содержит в себе множество полезных примеров.(контрпримеров), и читается немного проще чем Фихтенгольц(Хотя и эта книга очень нравиться), но первая более современная что ли... В общем если у вас будет время обязательно почитайте её.

[Diom]

ewert в [url=http://dxdy.ru/post408716.html#p408716] писал(а):

Те же уже упоминавшиеся тут Ильин с Позняком подошли к делу гораздо сознательнее

Возможно я плохо искал, но рассматриваемой теоремы в книге "Курс высшей математики и математической физики." данных авторов там не обнаружил. Если не затруднит не подскажете где ее там искать?

-- Пт фев 04, 2011 20:37:48 --

Кстати тут еще неоднократно хвалили книги Зорича, но при беглом просмотре мне показалось, что, по крайней мере, первая книга содержит довольно поверхностные сведения матана.

[ewert]

Diom в сообщении #409087 писал(а):

ewert в [url=http://dxdy.ru/post408716.html#p408716] писал(а):

Те же уже упоминавшиеся тут Ильин с Позняком подошли к делу гораздо сознательнее

Возможно я плохо искал, но рассматриваемой теоремы в книге "Курс высшей математики и математической физики." данных авторов там не обнаружил. Если не затруднит не подскажете где ее там искать?

Не знаю. Вполне возможно, там её и нет -- теорема эта не то чтоб совсем уж никому не нужна, но и не особо так принципиальна.

Я имел в виду не теорему, а формальное определение того, что называется "точкой разрыва" (у меня сложилось впечатление, что проблемы у Вас в т.ч. и с этим). Ильин и Позняк дают его достаточно чётко, Фихтенгольц же -- достаточно невнятно.

[Sasha2]

Наткнулся кстати совершенно случайно:
В курсе матанализа Камынина (том 1) этому вопросу посвящены специально два параграфа, они так и называются:
1) Теорема о пределе производной (страница 156).
2) Теорема о разрывах производной (страница 157).

Правда там изложение носит характер сугубо ориентированный на математиков (ну, например, это сильно отличается от изложения принятого в Фихтенгольце и в других подобных учебниках (Кудрявцев, Никольский и т.п.), рассчитанных скорее на физиков, то есть на учащихся с более слабой математической подготовкой).

[Diom]

Цитата:

(у меня сложилось впечатление, что проблемы у Вас в т.ч. и с этим)

Ну да. В некоторой степени это так и есть :))))

Цитата:

теорема эта не то чтоб совсем уж никому не нужна, но и не особо так принципиальна.

На мой взгляд, она имеет принципиальное значение не с позиции практического применения, а с точки зрения понимания происходящих "там" процессов. Дело в том, что я (и не думаю что тут я оригинален) еще до того как с ней ознакомился был практически уверен, что нечто подобное должно иметь место, а раз уж даже интуиция "учуяла", то это обязательно необходимо доказать или опровергнуть :)

Sasha2, спасибо посмотрю

[ewert]

Sasha2 в сообщении #409114 писал(а):

Правда там изложение носит характер сугубо ориентированный на математиков (ну, например, это сильно отличается от изложения принятого в Фихтенгольце и в других подобных учебниках (Кудрявцев, Никольский и т.п.), рассчитанных скорее на физиков, то есть на учащихся с более слабой математической подготовкой).

Я Камынина не читал, но листанул. Он большой чудак. Случайно наткнулся в главе про метрические пространства (просматривал оглавление и заинтересовался, что же он может рассказать про эквивалентность норм). Так вот, он там перечисляет какие-то свойства окрестностей. Первое, второе, третье...

4) Аксиома (отделимости Хаусдорфа). <...> Доказательство.

[Sasha2]

Не знаю точно, но кажется. что в метрических пространствах эта аксиома доказуема, что и сделано.

А вообще мне кажется, что всего есть только два достойных учебника по матану. Это Зорич и Камынин.
Все остальное жалкие поделки, хотя, конечно, и среди них есть отличные экземпляры, но только в том случае, если речь идет о математической подготовке физиков.
Интересно, есть ли заграничные учебники по матану такого же уровня, ну кроме уродства от Бурбаки?

Вот кстати отзывы о Зориче и Камынине:
http://www.mmonline.ru/forum/read/5/6012/

[mihailm]

Sasha2 в сообщении #409233 писал(а):

...
А вообще мне кажется, что всего есть только два достойных учебника по матану. Это Зорич и Камынин.
...

много их достойных - например еще Рудин, Гурса

начиная с учебника Лопиталя

[ewert]

Sasha2 в сообщении #409233 писал(а):

Не знаю точно, но кажется. что в метрических пространствах эта аксиома доказуема, что и сделано.

Пафос в том, что аксиомы в принципе не доказуемы. Просто неграмотно выстроен текст. Надо было примерно так:

"4) (тыр-пыр) Доказательство (...)
Замечание. Для топологических пространств общего вида такое утверждение называется аксиомой отделимости Хаусдорфа. Мы тоже будем его так называть, несмотря на то, что в частном случае метрических пространств это не аксиома, а теорема."

Мне вообще не понравился стиль изложения -- во всяком случае, в этой главе. Очень плохо структурировано. Скажем, текст про нормированные пространства (содержащийся в параграфе про метрические пространства) безусловно следовало выделить в отдельный параграф. Формулировка теоремы из первого параграфа: "В евклидовом пространстве Е со скалярным произведением (х,у) можно ввести норму: ..." звучит нелепо -- мало ли что можно и зачем. Следовало вместо этого сказать: "выражение (...) удовлетворяет аксиомам нормы" -- и потом обязательно оговорить, что в любом евклидовом пространстве под нормой по умолчанию понимается именно это. Автор же этого не сделал, из-за чего возникают и дальнейшие стилистические несуразицы типа оговорки о том, что именно понимается под нормой, в формулировке неравенства Коши-Буняковского. И, кстати, отсутствие упоминания о "строгости" этого неравенства (что весьма важно) текст тоже не красит. Не разобрана также (это снова про седьмой параграф) связь между неравенством треугольника и выпуклостью шара. На фоне обилия совершенно не нужных утверждений чисто технического характера отсутствие этого принципиального факта выглядит странно и приводит к тому, что $\|\cdot\|_p$ объявляется нормой совершенно голословно. Про экзотические обозначения типа $\text{Ш}_{\delta}$, да ещё и с налипающими на это чёрточками, я уж умолчу.

В общем, сумбур вместо музыки.

[Sasha2]

Ну все таки уровень изложения анализа в этих учебниках весьма высок.
А неравенство Коши-Буняковского это такая штука, что и школьнику под силу разобрать его любое из его доказательств (навскидку так, 4 точно имеется). Это не тот материал, над которым следует рубиться.
И другие замечания вообщем то относятся скорее к алгебре чем к матану. Тогда уж тут следует скорее обсуждать, какой курс алгебры (да и к курсу геометрии тоже самое относится) наиболее гармонично сочетается с данным курсом анализа.

Вообще у меня сложилось такое впечатление, что курсы уровня Зорич, Камынин обязательно должны сочетаться и очень выверенно, как по объему, даваемого материала, так и по времени, то есть по порядку изложения, с соответствующими курсами алгебры и геометрии. В противном случае наступит момент и дальше уже читать только их матан станет невозможно, чего кстати не скажешь практически о любых других курсах, где многое просто выкидывается и оставляется традиционно то, что считается матаном и может быть понято только и только в рамках матана.

Одним словом, такие книги как анализ от Зорича и Камынина, алгебра от Кострикина и геометрия от Постникова наталкивают на мысль о том, что было бы неплохо создать единый курс высшей математики, где все эти предметы, давались бы последовательно в рамках единого курса.

То есть в принципе нечто вроде Курс высшей математики от Смирнова или "Математика в техническом университете" только на несколько порядков круче. Ну хотя бы такой курс математики для базовых дисциплин (анализ, алгебра, геометрия).

[ewert]

Sasha2 в сообщении #409266 писал(а):

Это не тот материал, над которым следует рубиться.

Дело не в рубках, а в том, что эта глава (о непрерывных отображениях) изложена логически непоследовательно. Камынин попытался скрестить в ней ежа с ужом -- математический анализ с элементами функционального анализа. В принципе, почему бы и нет; только очень уж бессвязно это у него получилось. Общие свойства метрических пространств разорваны на два параграфа, далеко отстоящих друг от друга -- 1-й и 7-й. При этом:

* оба параграфа содержат сведения примерно одного уровня;
* сведения по метрическим пространствам явно избыточны (нет никакой необходимости столь дотошно возиться со всякими нюансами насчёт открытости-замкнутости-предельности, коль скоро речь всего лишь о конечномерных пространствах), при том, что некоторые простые и практически важные факты потеряны;
* обсуждение метрических, нормированных и евклидовых пространств смешано внутри каждого из параграфов в общую кучу, в результате чего теряется иерархия (становится неразличимым, что нового привносит в теорию каждая следующая структура).

В результате -- разбегаются глаза и за деревьями уже не видно леса. Вот хорошая цитата по Вашей ссылке:

Сергей писал(а):

Конечно, для первокурсников, падающих в обморок от восхищения при слове "диффеоморфизм", испещренные исключительно выкладками страницы камынинского учебника кажутся интереснее и предпочтительнее какого-нибудь более "словесного" изложения предмета. Только через некоторое время все эти формулы с дельтами от эпсилонов забываются, а показанные на пальцах идеи и образы остаются надолго. И если вы все-таки выбираете для изучения матана учебник Камынина, и если есть желание этот матан узнать поглубже, а не просто сдать, то будьте готовы к очень большой работе - не только разобраться в формулах, но и вычленить из них основные идеи, а из ряда разделов курса еще и геометрическую интерпретацию всех этих формул и теорем. Иначе через очень короткое время из шести (!!!) (или чуть меньше, сейчас уже не помню) теорем Дини не вспомните ни одной...

Только у Камынина отсутствие интерпретаций и чрезмерная формализованность изложения дополняется ещё и его некоторой нелогичностью.

[Sasha2]

Я с Вами, уважаемый ewert, тут соглашусь. А у кого нет логических нестыковок, они есть даже у великого Фихтенгольца.
Но я все же считаю, что это идет в основном от того, что, к большому сожалению, отсутствует объединенный курс анализа, алгебры и геометрии, то есть грубо говоря такого курса, в результате которого математика органично воспринималась бы как единое целое, а не как набор отдельных кусков типа анализ+алгебра+геометрия.
Такой курс должен быть, потому как сейчас, если в рамках одного куска оставаться, то будет явная нехватка, а если все куски брать, то там огромное перекрытие пойдет. Возможно ли создание такого курса, вопрос весьма интересный.

Одним словом собрать бы всех вот их Зорич, Камынин, Постников, Кострикин, ну и еще может быть кто-нибудь такого же уровня, да заставить их написать единый учебник по высшей математики.