Самоортогональные последовательности

[migmit]

Возьмём последовательность (конечную): $1,0,0,0,\ldots,0$. Она обладает таким замечательным свойством, что если мы рассмотрим все её циклические сдвиги, то получим взаимно ортогональные последовательности.

Я тут наткнулся на забавный факт: оказывается, последовательность $u_0,u_1,\ldots,u_{2n-1}$, где

$$u_i=\frac1{\sin\left(\frac{\left(i+\frac12\right)\pi}n\right)}$$

обладает таким же свойством: все её циклические сдвиги взаимно ортогональны. Ещё одна последовательность с тем же свойством - $v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}$, где

$$v_i=\ctg\left(\frac{\left(i+\frac12\right)\pi}n\right)+d,$$

где $d$ - любое число, по модулю равное $1$.

Кто-нибудь наталкивался в литературе на последовательности с таким свойством?

[paha]

Рассмотрим арифметическое пространство $\mathbb{R}^n$ с евклидовой структурой и фиксированным ортонормированным базисом $\{e_{0},\ldots,e_{n-1}\}$. Оператор циклического сдвига, заданный на базисных векторах как $Ae_i=e_{i+1}$ (нижние индексы считаются по модулю $n$) является, очевидно, ортогональным.

Пусть $a\in\mathbb{R}^n$ такой вектор единичной длины, что $(A^ka,a)=0$ для любого $k=1,\ldots,n-1$. Ясно, что набор $\{a,Aa,A^2a,\ldots,A^{n-1}a\}$ образует ортонормированный базис: $(A^ka,A^la)=(A^{|k-l|}a,a)=\delta_{k,l}$.

Найдется ортогональная матрица $B$, переводящая исходный базис в данный: $Be_k=A^{k}a$. Но $ABe_k=A^{k+1}a=Be_{k+1}=BAe_k$ для всех $k=0,\ldots,n-1$. Таким образом матрица $B$ коммутирует с матрицей $A$.

Таким образом любая самоортогональная последовательность получается (с точностью до множителя) из последовательности $(1,0,\ldots,0)$ с помощью ортогональной матрицы $B$, коммутирующей с $A$.

[migmit]

Упс, про синусы я, похоже, соврал. Померещилось.

А вот про котангенсы - нет.

[alcoholist]

migmit
Вам помогла теория paha?

[migmit]

Нет.

Собственно говоря, меня интересует не сама "теория", а именно то, что я спрашивал: упоминание в литературе. Возможно, кто-то этим занимался уже? Если можно уложить полученный результат в развитый фреймворк - это всегда хорошо.

[mihailm]

migmit в сообщении #408551 писал(а):

... в развитый фреймворк - это всегда хорошо.

А что есть фреймворк (развитый)?