задачки по случайным процессам

[LeXa]

Здравствуйте!
Помогите разобраться с несколькими заданиями из теор. случ. процессов:

1) Проверьте, что $X_{t}=\frac{1}{a}w_{a^2 t}$ - броуновское движение (процесс Винера), если $const=a\neq 0$ и $w_{t}$ - винеровский процесс
2) Проверить, что $X_{t}=\sqrt{a}w_{t}^{1}-\sqrt{1-a}w_{t}^{2}$ - броуновское движение, если $0<a<1$ и $w_{t}^{1},w_{t}^{2}$ - независимые винеровские процессы
3) Пусть $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb{N}}$ - последовательность независимых, одинакого распределенных случ. величин, $MX_{i}=0,\forall i\in \mathbb{N}$. Показать, что $Y_{k}=(\sum\limits_{1}^k X_i)^2 - kM(X_1)^2$ будет в таком случае мартингалом
4) Проверить, будет ли мартингалом процесс $(w_t)^2-t$, коли $w_t$ - винеровский процесс
5) Вычислить стохастический дифференциал процесса $X_t=t^n(w_t)^m$
6) Вычислить стохастический дифференциал процесса $X_t=(\int\limits_{0}^t b_s dw_s - \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}(b_s)^2ds)^n$

Трудности, возникшие при решении:

1) Как показать, что w_{a^2 t}$ при любых $t\geq 0$ распределен нормально, если w_{t}$ распределен нормально? Понимаю, что $\{a^2 t | t\geq 0\}=\{t | t\geq 0\}$ и, тем самым, по сути w_{a^2 t}$ - процесс винера тогда и только тогда, когда таков w_{t}$, и, следовательно, раз $a^2t>a^2s\Longleftrightarrow t>s$, то и w_{a^2 t}-w_{a^2 s}\sim N(0,a^2(t-s))$ при $0\leq s<t$. Но, неужели все так и есть? Тут же вопрос - правда, что если случайные величины распределены одинакого, то любая комбинация борелевских функций от этих случайных величин будет распределена по такому же закону (по-моему, борелевость требуют только для сохранения измеримости отображения, а борелевская функция не обязана сохранять распределение)? Если опираться на характеристические функции, то распределение сохраняется только умножением на константу, а даже о линейной комбинации говорить можно только в случае независимости семейства случ. величин! Остальные случаи - для каждого распределения свои! Верно?

2) Тут встает один вопрос - правда, что если две группы случ. величин независимы (в общем случае - это означает независимость событий из их сигма-алгебр, как я знаю), то и линейная комбинация (более того, любая комбинация композиций борелевских функций и этих случайных величин) первой группы будет независима от того же самого дела из второй группы? Насколько глубоко можно зайти по комбинациях, чтобы не потерять независимость? Как все это идейно понять?

3) Тут прямо видно, что $MY_i=0, \forall i$, из чего также тривиально следует (из легко доказуемого свойства мат. ожидания случ. вел. быть конечным тогда и только тогда, когда конечно среднее от модуля этой сл. вел.), что $M|Y_i|<\infty$. В качестве фильтра$\{F_n\}_{n\in\mathbb N}$ взял естественную фильтрацию. Оставалось только показать, что $M(Y_m | F_n )=Y_n$ (коли $m\geq n$) почти наверное по $P$. Но тут я застрял на следующем: не могу показать, что п.н. имеет место следующее равенство: $\sum\limits_{n+1}^{m}M((X_{i})^2 | F_n)=(m-n)D(X_1)$. Тут все бы было складно, но не могу понять, почему $ D(X_1)=D(X_i), i=2,3,4...$ (ну и что, что по условию $X_{i}$ распределены одинаково?! почему отсюда следует равенство дисперсий?) и почему $M((X_{i})^2 | F_n)=M(X_{i})^2 $ (то есть почему $(X_{i})^2, i=n+1,..,m$ случайные величины независимы от сигма-алгебры $F_n$ (это из-за того, что $F_n$ - сигма-алгебра, порожденная только $Y_1,Y_2,...,Y_n$ (так как фильтрацию естественную я взял!) и ни одна из указанных случ. величин (по условию задачи) не содержит $X_{i}, i=n+1,..,m$, да и к тому же $X_{i}$ независимы друг от друга по условию?). Вообще, если группа случ. величин не зависит от группы сигма-алгебр, правда ли, что любая комбинация композиций этих случ. величин с любыми борелевскими функциями будет также независима от этой группы сигма-алгебр (как идейно понять это?)? И последний вопрос: равносильны ли понятия "одна случ. величина не зависит от другой " и "эти случ. величины не определены непосредственно друг другом или теми случайными величинами, которые определены ими"?

4) Тут сразу встает вопрос - откуда следует, что $(w_t)^2$ - винеровский процесс и, вообще, что $(w_t)^2\sim N(a,\sigma^2)$? Ну и что, что $w_t\sim N(0,t)$ (это прямо следует из нормальности распределения приращений винеровского процесса)?! Как доказать, что $M((w_t)^2-t | F_s)=(w_s)^2-s$ при $t\geq s$? Кстати, тут я заметил, что задачка вовсе и не требует того, чтобы $(w_t)^2$ был винеровским, но как все же доказать, что $M(w_t)^2<\infty$?

5)-6) Где можно хорошенько просмотреть, что из себя представляет этот дифференциал и как его считать (желательно на примерах)? (добавлю для ясности, что $\int\limits_{0}^{t}(b_s)^2ds$ понимается, как обыкновенный лебегов интеграл, а $\int\limits_{0}^t b_s dw_s$ - как интеграл по винеровской мере (стохастический интеграл Ито)

Надеюсь на Ваши указания и советы!

[Gortaur]

1. Борелевские функции в общем случае конечно не сохраняют распределение. Чтобы показать, что это броуновское движение, достаточно проверить то, что оно равно нулю в нуле, независимость приращений и то, что распределение $\frac{1}{a}w_{a^2t}\sim\mathcal{N}(0,t)$.

2. Проверьте то же, что и в п.1

3. Когда ищете УМО - распишите как сумму $Y_n+(Y_m - Y_ n)$. первое можно просто вынести, так как оно измеримо, второе независимо от сигма-алгебры $\mathcal{F}_n$ - поэтому там будет просто МО, в котором все хорошо взаимоуничтожится.


4. Да, квадрат не броуновское движение конечно. Доказать можно, посчитав стох. дифференциал от данного процесса. Доказать конечность МО можно используя то, что она равна дисперсии.

5.6. - см. лемма Ито.

[LeXa]

В первую очередь, выражаю свою благодарность, что нашли время ответить!

Gortaur в сообщении #402118 писал(а):

1. Чтобы показать, что это броуновское движение, достаточно проверить то, что оно равно нулю в нуле, независимость приращений и то, что распределение $\frac{1}{a}w_{a^2t}\sim\mathcal{N}(0,t)$.

То, что в нуле - нуль, - это тривиально! Независимость приращений и $\frac{1}{a}w_{a^2t}\sim\mathcal{N}(0,t)$ - тут большая загвостка! Как я писал, единственно, что помогает мне решить эти два вопроса - то, что по большому счету, если внести обозначение $k:=a^2t$, то так как $k$ пробежит ровно то же множество значений, что и $t$, получаем $w_{a^2t}=w_{k}$, где $w_{k}$ - тот же процесс винера, что и $w_{t}$. Из этого же все будет доказано тривиально (независимость приращений прямо выйдет из того факта, что если $\{t_{i}\}_{i=\overline{1,n}}$ разбиение, то и $\{a^2t_{i}\}_{i=\overline{1,n}}$ будет разбиением, а, основываясь на свойствах мат. ожидания и дисперсии (и, учтя тот факт, что $Cw_{a^2t}$ для любых констант $C$ будет распределена нормально (легко доказывается из свойства характеристической функции)), прямо получим $\frac{1}{a}w_{a^2t}\sim\mathcal{N}(0,t)$). Только не знаю, на сколько тут я все правильно изложил и вообще - как можно доказать это дело по-иному, если у меня проблема с процессом в его индексах (коэффициент $\frac{1}{a}$ отнюдь и не страшен!).

Gortaur в сообщении #402118 писал(а):

2. Проверьте то же, что и в п.1

Тут же в принципе все ясно, не считая доказательства того, что так как приращения $w_{t}^{1}$ и $w_{t}^{2}$ процессов независимы и притом сами эти процессы не зависят (по условию) друг от друга, то и приращения процесса $\sqrt{a}w_t^1 - \sqrt{1-a}w_t^2$ будут независимыми! То есть фактически мне нужно идейно понять, почему независимость сохраняется, если взять (хотя бы) линейные комбинации независимых случ. величин? Здесь же и сей вопрос - равносильны ли понятия "одна случ. величина не зависит от другой " и "эти случ. величины не определены непосредственно друг другом или теми случайными величинами, которые определены ими"? Каков конструктивный подход к оценке независимости групп случайных величин, а то прям-таки разум рассеивается, встречая на пути тему независимости?

Gortaur в сообщении #402118 писал(а):

3. Когда ищете УМО - распишите как сумму $Y_n+(Y_m - Y_ n)$. первое можно просто вынести, так как оно измеримо, второе независимо от сигма-алгебры $\mathcal{F}_n$ - поэтому там будет просто МО, в котором все хорошо взаимоуничтожится.

Тут я так и сделал изначально, но как раз застрял, как уже писал, на двух вещах:

LeXa в сообщении #402036 писал(а):

почему $ D(X_1)=D(X_i), i=2,3,4...$ (ну и что, что по условию $X_{i}$ распределены одинаково?! почему отсюда следует равенство дисперсий?) и почему $M((X_{i})^2 | F_n)=M(X_{i})^2 $ (то есть почему $(X_{i})^2, i=n+1,..,m$ случайные величины независимы от сигма-алгебры $F_n$ (это из-за того, что $F_n$ - сигма-алгебра, порожденная только $Y_1,Y_2,...,Y_n$ (так как фильтрацию естественную я взял!) и ни одна из указанных случ. величин (по условию задачи) не содержит $X_{i}, i=n+1,..,m$, да и к тому же $X_{i}$ независимы друг от друга по условию?).

Тут есть очень важный момент - реально я не употребляю нигде того факта, что $X_i$ распределены одинаково! Единственное, в чем мне это может помочь, как указано выше, это в равенстве дисперсий (то есть $M(X_i)^2$, так как по условию $M(X_i)=0$). Только, почему это так и есть?

Gortaur в сообщении #402118 писал(а):

4. Доказать можно, посчитав стох. дифференциал от данного процесса. Доказать конечность МО можно используя то, что она равна дисперсии.

Конечность МО:
$M((w_t)^2-t)=M(w_t)^2-t=M(w_t-M(w_t))^2-t=D(w_t)-t=t-t=0$. Так как, по свойству мат. ожидания, $M(\xi)<\infty \Longleftrightarrow M|\xi|<\infty$, то $M|(w_t)^2-t|<\infty$.

У мартингалов специфический стох. дифференциал (судя по Вашему совету, так, по-моему, должно быть)?

Gortaur в сообщении #402118 писал(а):

5.6. - см. лемма Ито.

Спасибо, пошел смотреть лемму Ито!

[Gortaur]

Давайте-ка я дам Вам основные свойства УМО, которые помогли мне понять как решаются такие задачи.

a) Если $\xi$ и $\mathcal{F}$ независимы, то $E[\xi|\mathcal{F}] = E[\xi]$.

b) Если $\eta$ является $\mathcal{F}$-измеримой, то

$$ E[\eta\xi|\mathcal{F}] = \eta E[\xi|\mathcal{F}] $$

для любых $\xi$ (ну может надо чтобы у них было конечное МО - не особо часто встречается что такого нет).


1. Независимость приращений - легко. Хотел написать общо, но че уж, одну покажу - другие сами тогда сделаете. Пусть

$$ y_t = \frac{1}{a}w_{a^2t}. $$

Нам надо показать, что для любого разбиения $0=t_0<t_1<t_2<...<t_n = t$ выполнена независимость $y_{t_1} - y_{t_0},y_{t_2} - y_{t_1},...$. Так как $y_t = \frac{1}{a}w_{a^2t}$, то

$$ y_{t_1} - y_{t_0},y_{t_2} - y_{t_1},... $$

это

$$ \frac{1}{a}w_{a^2t_1} - \frac{1}{a}w_{a^2t_0}, \frac{1}{a}w_{a^2t_2}- \frac{1}{a}w_{a^2t_1},... $$

которые независимы по определению винеровского процесса, т.к. $a^2t_0<a^2t_1<a^2t_2$ - тоже разбиение.

Теперь насчет распределения. Если $\xi\sim\mathcal{N}(a,b^2)$ то $C\xi\sim\mathcal{N}(Ca,C^2b^2)$. Если $\eta\sim\mathcal{N}(a',b'^2)$ и независимы от $\xi$, то $\xi+\eta\sim\mathcal{N}(a+a',b^2+b'^2)$.

Это поможет Вам доделать первый и второй вопросы.

3. Дисперсия и МО определяются только распределением. Поэтому если величины распределены одинаково, то и ВСЕ характеристики совпадают. Да, независимость следует из того, что $X_i$ не втречается раньше и все они независимы (ну и вообще, см. начало данного сообщения)


4. нет, он в общем-то один, просто расписав через него легче показать что данная последовательность - мартингал. А можно и легче - Вам нужно посчитать $E[w^2_t|F_s]$. Представьте $w^2_t = (w_t-w_s)^2+...$ - тогда первое слагаемое будет независимо от $F_s$ а с другими тоже легко.

5.6. - жду реакции

-- Чт янв 20, 2011 17:21:56 --

Да, кстати, я МО обозначаю привычно через Е, надеюсь не сбивает.

[LeXa]

Gortaur в сообщении #402279 писал(а):

5.6. - жду реакции

В первую очередь, извиняюсь за долгое отсутствие!
5) По лемме Ито имеем (получается эта формула, как я понимаю, из Тейлоровского разложения):

$$\aligned dX_t&=dF(t,w_t)=(F_t^{'}(t,w_t)+\frac{1}{2}F_{xx}^{''}(t,w_t))dt+F_x^{'}(t,w_t)dw_t=\\ &=(nt^{n-1}(w_t)^m+\frac{1}{2}m(m-1)t^n(w_t)^{m-2})dt+mt^n(w_t)^{m-1}dw_t=\\ &=(nt+\frac{m(m-1)}{2}(w_t)^2)X_tdt+mw_tX_tdw_t \endaligned$$

6) Тут надо заметить, что $\int\limits_{0}^t b_s dw_s - \frac{1}{2}\int\limits_{0}^{t}(b_s)^2ds$ - процесс Ито (обозначим через $Y_t$), где $Y_0=0$. Следовательно, имеем: $X_t=(Y_t)^n$, где $dY_t=(-\frac{1}{2}(b_t)^2)dt+b_tdw_t$.
Тогда по лемме Ито будем иметь:

$$dX_t=dF(t,Y_t)=(F_t^{'}(t,Y_t)+\frac{1}{2}F_{xx}^{''}(t,Y_t))dt+F_x^{'}(t,Y_t)dY_t=(0+\frac{1}{2}n(n-1)(Y_t)^{n-2})dt+n(Y_t)^{n-1}dY_t=$$

$$=\frac{n(n-1)}{2}(Y_t)^{n-2}dt+n(Y_t)^{n-1}dY_t=\frac{n(n-1)(Y_t)^{n-2}-n(Y_t)^{n-1}(b_t)^2}{2}dt+n(Y_t)^{n-1}b_tdw_t$$

Можно ли упростить эти примеры более приведенного?
Большая просьба указать ошибки!

[--mS--]

LeXa в сообщении #402036 писал(а):

1) Как показать, что w_{a^2 t}$ при любых $t\geq 0$ распределен нормально, если w_{t}$ распределен нормально?

??? Вы пропустили "для любого $t$" в конце. Не очень понимаю, что нужно доказывать, если оно дано? Дано, что для любого $t$ величина $\textrm{w}_t$ имеет нормальное распределение. Это то же самое, что для любого $u$ величина $\textrm{w}_u$ имеет нормальное распределение, для любого $z$ величина $\textrm{w}_z$ имеет нормальное распределение, для любого $a^2t$ величина $\textrm{w}_{a^2t}$ имеет нормальное распределение, и т.д.

LeXa в сообщении #402036 писал(а):

Тут же вопрос - правда, что если случайные величины распределены одинакого, то любая комбинация борелевских функций от этих случайных величин будет распределена по такому же закону (по-моему, борелевость требуют только для сохранения измеримости отображения, а борелевская функция не обязана сохранять распределение)?

Разумеется, правда. Если для всякого $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ совпадают вероятности $\mathsf P(\xi\in B)=\mathsf P(\eta\in B)$, то для любой борелевской функции $f$

$$\mathsf P(f(\xi)\in B)=\mathsf P(\xi\in f^{-1}(B))=\mathsf P(\eta\in f^{-1}(B))=\mathsf P(f(\eta)\in B).$$

п.2. То же, что и в п.1.

[Gortaur]

--mS--
Попробую предположить, что Вы не совсем правильно поняли вопрос. Имелось ввиду скорее, что из

$$ Law(\xi) = Law(\eta) $$

следует

$$ Law(\xi) = Law(f(\xi,\eta)) $$

где $f$ - борелевская (см. что ТС сомневается в сохранении распределения при действии борелевской функции.)

[LeXa]

--mS-- в сообщении #408449 писал(а):

Не очень понимаю, что нужно доказывать, если оно дано? Дано, что для любого $t$ величина $\textrm{w}_t$ имеет нормальное распределение. Это то же самое, что для любого $u$ величина $\textrm{w}_u$ имеет нормальное распределение, для любого $z$ величина $\textrm{w}_z$ имеет нормальное распределение, для любого $a^2t$ величина $\textrm{w}_{a^2t}$ имеет нормальное распределение, и т.д.

Благодарен за ответ! Так я и думал, когда после вопроса привел издержки о моем мнении, но почему-то у меня нет чувства быть железно в чем-то уверенным. Может быть, не смог выйти из школьного возраста в студенческий

--mS-- в сообщении #408449 писал(а):

Если для всякого $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ совпадают вероятности $\mathsf P(\xi\in B)=\mathsf P(\eta\in B)$, то для любой борелевской функции $f$

$$\mathsf P(f(\xi)\in B)=\mathsf P(\xi\in f^{-1}(B))=\mathsf P(\eta\in f^{-1}(B))=\mathsf P(f(\eta)\in B).$$

То, что Вы написали,безусловно понятно, но я спрашивал следующее: как на группе случайных величин, распределенных одинаково, как на базисе что-ли ,построить максимально богатый случайными величинами класс, который сохранить базисное распределение! Я предположил, что, беря любые комбинации борелевских функций от любой комбинации из изначальной группы случайных величин, можно расширить группу с сохранением распределения, но тут же посомневался в могучести борелевских функций!

Большая просьба, господа - укажите, если в решениях примеров 5 и 6 я допустил хотя бы грубые оплошности, а то мне эта тема пока что не очень близка!

[_hum_]

LeXa в сообщении #402237 писал(а):

Каков конструктивный подход к оценке независимости групп случайных величин, а то прям-таки разум рассеивается, встречая на пути тему независимости?

Опр. С.в. $\xi_1, \xi_2, ... ,\xi_n$ называются независимыми, если независимы порождаемые ими сигма-алгебры.

Утв.1 Для независимости сигма-алгебр $\mathcal{F}_1, \mathcal{F}_2, ...,\mathcal{F}_n$ необходимо и достаточно, чтобы были независимы полуалгебры, порождающие соответствующие сигма-алгебры.

Следствие. Пусть $\mathcal{S}$ -- полуалгебра, порождающая борелевскую алгебру. Тогда для независимости с.в. $\xi_1, \xi_2, ...,\xi_n$ необходимо и достаточно, чтобы были независимы полуалгебры событий $\xi_1^{-1}(\mathcal{S})$, $\xi_2^{-1}(S)$,...,$\xi_n^{-1}(S)$.

Для любых двух алгебр $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2$ обозначим через $\mathcal{A}_1\vee \mathcal{A}_2$ наименьшую алгебру, содержащую все события обеих алгебр.

Утв.2 Если $\mathcal{A}_1, \mathcal{A}_2, ..., \mathcal{A}_m и $\mathcal{B}_1, \mathcal{B}_2, ..., \mathcal{B}_n - независимые алгебры, то $\vee_i \mathcal{A}_i$ и $\vee_j\mathcal{B}_j$ независимы.

То же для сигма алгебр.

Доказательства, вроде, в Скороходе "Вероятность, марковские процессы" были.

[LeXa]

Насчет 5)-го примера:

Имеем $X_t=t^n(w_t)^m$. Из этого имеем, что $X_t=\xi_t\eta_t$, где $\xi_t=t^n, \eta_t=(w_t)^m$. Так как по лемме $d(\xi_t\eta_t)=\xi_td\eta_t+\eta_td\xi_t+d\xi_td\eta_t$, то ...

Может быть, верно таким путем решить, но тогда как это докончить?

Можно ли мое решение 6)-го примера упростить более?

[Gortaur]

Что значит как это докончить? посчитали отдельно дифференциалы, подставили, перемножили. Но метод через $F(t,w) = t^nw^m$ тоже нормально - по сути, одно и то же.

Насчет 5 и 6 - а зачем упрощать, их потом исследовать надо? Если нет - то форма ответа пойдет.

[--mS--]

2Gortaur, понятно. Мне просто в голову не могла прийти такая постановка вопроса, особенно в связи с винеровским процессом :)

[Henrylee]

В 6-м. ошибка. При вычислении дифференциала $dX_t$ второе слагаемое должно быть $\frac12n(n-1)Y_t^{n-2}$ $\cdot$ $(dY_t)^2$, т.е. умножается не на $dt$, а на $b_t^2dt$