Интегрирование СНДУ

[Map]

Есть такая СНДУ
$A'=0.02*A-0.02*A*B+0.01*A*C$
$B'=0.33*A*B-375*B+C*B$
$C'=0.35*A*C+3*B*C-407*C$
Начальные условия $A=1146.5, B=1.866265, C=1.481062$
Нужно проинтегрировать на промежутке $0...1$ (задача Коши). Примерно на $0.4$ решение резко возрастает до очень больших величин.
Что это такое (жёсткая системы или "неустойчивая" точка или ещё что) и как это обойти?

[Gortaur]

Посчитайте собственные числа матрицы коэффициентов. Численно

[Map]

Собственные значения:
$ 0.0199910188468$
$ -374.9065057756685$
$ -407.0934852431781$

[mihiv]

Я бы попробовал перейти к новым функциям:$f=\ln A,g=\ln B,h=\ln C$.

[Map]

А смысл в данном преобразовании функций?

-- Ср фев 02, 2011 23:06:54 --

А смысл в данном преобразовании функций?

[mihiv]

Они медленнее меняются,может быть удастся понять,чем вызван быстрый рост решения.

[Фантом]

Map в сообщении #408312 писал(а):

Примерно на $0.4$ решение резко возрастает до очень больших величин.

Gortaur в сообщении #408314 писал(а):

Посчитайте собственные числа матрицы коэффициентов. Численно

Map в сообщении #408318 писал(а):

Собственные значения:
$ 0.0199910188468$
$ -374.9065057756685$
$ -407.0934852431781$

Так все, собственно, ответ получен. Система жесткая, нужно менять метод интегрирования.

[Map]

Да, но вот только одна проблема: методов перепробовано много (Гир, куча РК, эйлер, льюисон, розенброк), а результат тот-же. Если кто-то посоветует хороший метод решения буду премного благодарен.

[Ales]

В нелинейных системах возможен уход на бесконечность за конечное время : $\dot x=x^2$.
Судя по всему это Ваш случай. Значит модель неадекватна и уравнения не годятся.

[Фантом]

Map в сообщении #408448 писал(а):

Да, но вот только одна проблема: методов перепробовано много (Гир, куча РК, эйлер, льюисон, розенброк), а результат тот-же.

Да, действительно - немного погонял Вашу систему (розенброком и парой предикторно-корректорных вариантов), похоже, что она действительно разваливается, и дело не в жесткости. Так что, пожалуй, Ales прав.

Что это (в смысле что именно моделируется)?

[Map]

Ales
Ок, если это так, то можно немного поподробнее.

[Ales]

Map в сообщении #408455 писал(а):

Ок, если это так, то можно немного поподробнее.

К сожалению, подробнее нельзя:
если тестирование системы показывает уход на бесконечность,
то значит она уходит на бесконечность.
Теоретически таких систем куча и уход на бесконечность может иметь самую разную структуру.
Даже простое линейное уравнение с большим положительным собственным значением уводит на бесконечность почти мгновенно, а уж нелинейная система может вести себя как угодно.

Мои рекомендации: прогнать с малым шагом все равно каким методом при разных начальных условиях.
Попробовать нарисовать фазовый портрет в пространстве.
Найти особые точки и исследовать их тип (седла, узлы или еще что).

Если такая система описывает реальный процесс, то значит все сломается или взорвется.

[Gortaur]

А, там нелинейность (куда только смотрят модераторы - до сих пор форматирование висит нe в $\TeX$).

Map
по-моему, логично попробовать сделать линейную замену чтобы величины были одного порядка, а то у Вас то сотни, то десятые. Там уже и фазовый портрет нарисуем.

[Map]

Gortaur
На самом деле я уже сделал замену т.к. в оригинале $B,C * 10^6$ соответственно и коэфициенты ещё больше разняться (например не 3, а 0.000003).

[Gortaur]

Итак, критических точек 5, две из них близко достаточно к начальным условиям. С другой стороны около начальной точки градиент хороший - и так где-то до 0.3, но при прохождении около точки $(1093,8.13,14.27)$ - начинаются неприятности в основном сначала в $b$ и $c$ - ну а потом они конечно $a$ подхватывают.

Собственно, откуда эффект - система представима в виде

$$ \dot{a} = a(0.02 +0.01(c-2b)),\dot{b} = b (0.33a - 375+c),\dot{c} = c(0.35a + 3b - 407). $$

Смотрим на скобки во втором и 3м уравнениях. Они возрастают по $a,b,c$. Изначально векторное поле по $b$ около $8$, а $c$ медленно убывает. Поэтому рост $b$ перекрывает убывание $c$ в третьей скобке, а высокое значение $a$ перебивает убывание $c$ во второй скобке. И вот когда $b$ минует значение около $6$ - тут $a$ начинает медленно убывать, а $b$ и $c$ теперь в квадратичной положительной связке примерное

$$ \dot{b} = bc, \dotc{c} = 3bc. $$

Т.к. $b$ в начале такого роста больше $c$, то $a$ убывает - но т.к. рост $c$ становится теперь быстрее, через некоторое время и $a$ начинает возрастать. Через некоторое время они достигают тех значений, при которых большие числа $375$ и $407$ не играют роли - ну и собственно дальше все ясно.


Проверьте (а лучше выложите сюда) постановку задачи. Может ошибку сделали пока вычисляли?

-- Пт фев 04, 2011 17:55:09 --

P.s. на точное описание не претендую - но по-моему, мысль достаточно ясна. Точно можно сделать - оценив рост $a,b,c$ на каждом отдельном интервале - только не знаю, есть ли смысл. Другое дело - что Вам нужно от этой системы, почему именно на $[0,1]$ интегрировать?

-- Пт фев 04, 2011 17:56:29 --

И последнее - для нелинейных систем может данные методы неустойчивы? может там шаг какой специальный надо брать?