2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 19:28 


20/07/10
28
Есть такая СНДУ
$A'=0.02*A-0.02*A*B+0.01*A*C$
$B'=0.33*A*B-375*B+C*B$
$C'=0.35*A*C+3*B*C-407*C$
Начальные условия $A=1146.5, B=1.866265, C=1.481062$
Нужно проинтегрировать на промежутке $0...1$ (задача Коши). Примерно на $0.4$ решение резко возрастает до очень больших величин.
Что это такое (жёсткая системы или "неустойчивая" точка или ещё что) и как это обойти?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 19:35 


26/12/08
1813
Лейден
Посчитайте собственные числа матрицы коэффициентов. Численно

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 19:44 


20/07/10
28
Собственные значения:
$   0.0199910188468$
$  -374.9065057756685$
$  -407.0934852431781$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 21:38 
Заслуженный участник


03/01/09
1423
москва
Я бы попробовал перейти к новым функциям:$f=\ln A,g=\ln B,h=\ln C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 22:02 


20/07/10
28
А смысл в данном преобразовании функций?

-- Ср фев 02, 2011 23:06:54 --

А смысл в данном преобразовании функций?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 22:15 
Заслуженный участник


03/01/09
1423
москва
Они медленнее меняются,может быть удастся понять,чем вызван быстрый рост решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение02.02.2011, 23:33 


17/01/09
119
Map в сообщении #408312 писал(а):
Примерно на $0.4$ решение резко возрастает до очень больших величин.

Gortaur в сообщении #408314 писал(а):
Посчитайте собственные числа матрицы коэффициентов. Численно

Map в сообщении #408318 писал(а):
Собственные значения:
$ 0.0199910188468$
$ -374.9065057756685$
$ -407.0934852431781$

Так все, собственно, ответ получен. Система жесткая, нужно менять метод интегрирования.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 00:02 


20/07/10
28
Да, но вот только одна проблема: методов перепробовано много (Гир, куча РК, эйлер, льюисон, розенброк), а результат тот-же. Если кто-то посоветует хороший метод решения буду премного благодарен.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 00:21 


20/12/09
1527
В нелинейных системах возможен уход на бесконечность за конечное время : $\dot x=x^2$.
Судя по всему это Ваш случай. Значит модель неадекватна и уравнения не годятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 00:52 


17/01/09
119
Map в сообщении #408448 писал(а):
Да, но вот только одна проблема: методов перепробовано много (Гир, куча РК, эйлер, льюисон, розенброк), а результат тот-же.

Да, действительно - немного погонял Вашу систему (розенброком и парой предикторно-корректорных вариантов), похоже, что она действительно разваливается, и дело не в жесткости. Так что, пожалуй, Ales прав.

Что это (в смысле что именно моделируется)?

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 01:07 


20/07/10
28
Ales
Ок, если это так, то можно немного поподробнее.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 11:14 


20/12/09
1527
Map в сообщении #408455 писал(а):
Ок, если это так, то можно немного поподробнее.

К сожалению, подробнее нельзя:
если тестирование системы показывает уход на бесконечность,
то значит она уходит на бесконечность.
Теоретически таких систем куча и уход на бесконечность может иметь самую разную структуру.
Даже простое линейное уравнение с большим положительным собственным значением уводит на бесконечность почти мгновенно, а уж нелинейная система может вести себя как угодно.

Мои рекомендации: прогнать с малым шагом все равно каким методом при разных начальных условиях.
Попробовать нарисовать фазовый портрет в пространстве.
Найти особые точки и исследовать их тип (седла, узлы или еще что).

Если такая система описывает реальный процесс, то значит все сломается или взорвется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 20:53 


26/12/08
1813
Лейден
А, там нелинейность (куда только смотрят модераторы - до сих пор форматирование висит нe в $\TeX$).

Map
по-моему, логично попробовать сделать линейную замену чтобы величины были одного порядка, а то у Вас то сотни, то десятые. Там уже и фазовый портрет нарисуем.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение03.02.2011, 21:36 


20/07/10
28
Gortaur
На самом деле я уже сделал замену т.к. в оригинале $B,C * 10^6$ соответственно и коэфициенты ещё больше разняться (например не 3, а 0.000003).

 Профиль  
                  
 
 Re: Интегрирование СНДУ
Сообщение04.02.2011, 16:50 


26/12/08
1813
Лейден
Итак, критических точек 5, две из них близко достаточно к начальным условиям. С другой стороны около начальной точки градиент хороший - и так где-то до 0.3, но при прохождении около точки $(1093,8.13,14.27)$ - начинаются неприятности в основном сначала в $b$ и $c$ - ну а потом они конечно $a$ подхватывают.

Собственно, откуда эффект - система представима в виде
$$
\dot{a} = a(0.02 +0.01(c-2b)),\dot{b} = b (0.33a - 375+c),\dot{c} = c(0.35a + 3b - 407).
$$
Смотрим на скобки во втором и 3м уравнениях. Они возрастают по $a,b,c$. Изначально векторное поле по $b$ около $8$, а $c$ медленно убывает. Поэтому рост $b$ перекрывает убывание $c$ в третьей скобке, а высокое значение $a$ перебивает убывание $c$ во второй скобке. И вот когда $b$ минует значение около $6$ - тут $a$ начинает медленно убывать, а $b$ и $c$ теперь в квадратичной положительной связке примерное
$$
\dot{b} = bc, \dotc{c} = 3bc.
$$

Т.к. $b$ в начале такого роста больше $c$, то $a$ убывает - но т.к. рост $c$ становится теперь быстрее, через некоторое время и $a$ начинает возрастать. Через некоторое время они достигают тех значений, при которых большие числа $375$ и $407$ не играют роли - ну и собственно дальше все ясно.


Проверьте (а лучше выложите сюда) постановку задачи. Может ошибку сделали пока вычисляли?

-- Пт фев 04, 2011 17:55:09 --

P.s. на точное описание не претендую - но по-моему, мысль достаточно ясна. Точно можно сделать - оценив рост $a,b,c$ на каждом отдельном интервале - только не знаю, есть ли смысл. Другое дело - что Вам нужно от этой системы, почему именно на $[0,1]$ интегрировать?

-- Пт фев 04, 2011 17:56:29 --

И последнее - для нелинейных систем может данные методы неустойчивы? может там шаг какой специальный надо брать?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group