Действительно ли в математике все определяется и доказываетс

[Котофеич]

СЕМЬ РАЗМЫШЛЕНИЙ НА ТЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ*
В. А. Успенский

Действительно ли в математике все определяется и доказывается?

http://a-bugaev.chat.ru/uspensky.html

1. Действительно ли в математике все определяется и доказывается?
Математики, как правило, очень гордятся тем, что они математики. Источник гордости они видят в своей науке — причем не столько в той пользе, которую приносит математика, сколько в том, что это такая уникальная, ни на какую другую не похожая область знаний. И с этой исключительностью согласны и нематематики (так что величие математиков, к их удовольствию, осознается не только ими самими, но и окружающими). В самом деле, считается общепризнанным, что математика имеет по крайней мере следующие три присущие только ей черты. Во-первых, в математике, в отличие от других наук, все понятия строго определяются. Во-вторых, в математике — опять-таки в отличие от других наук — все строго доказывается из аксиом. В-третьих, математика непонятна в такой вызывающей уважительный трепет степени, какая недоступна ни одной другой пауке. Репетиторов по математике едва ли не больше, чем по всем другим школьным предметам, вместе взятым, а уж о современной «высшей» математике и говорить нечего: достаточно раскрыть любую монографию, а тем более журнальную статью. (Заметим, что обычно не задумываются, что третья из перечисленных черт вступает в известное противоречие с первыми двумя.)
Когда что-то слишком общеизвестно, закрадывается подозрение, не является ли это «что-то» мифом (ведь общественное мнение обладает автономным механизмом самоподдержания). Постараемся непредвзятым, по возможности, образом критически рассмотреть три только что названные общеизвестные черты математики.
Тогда, во-первых, обнаруживаем, что определить все математические понятия невозможно. Одно определяется через другое, другое через третье и т. д.; где-то мы должны остановиться. («Портной учился у другого, другой у третьего, да первый-то портной у кого же учился?» — справедливо замечает г-жа Простакова.) Рассказывают, что известный одесский математик С. И. Шатуновский, приводя определение все новых и новых понятий, в ответ на повторные вопросы «А что такое то-то и то-то» наконец не выдерживал и сам спрашивал: «А что такое „что такое?"»
Прав он или не прав

[экси]

Он не прав. Хотя конечно, что все зависит от того, что мы имеем в виду под словом "определение". Если говорить об "объективном" определении понятия, об определении понятия, как того, что реально существует, тогда наверное конечного определени я дать невозможно. Но если говорить о формальных логических системах. то конечно можно дать определения не апелирующие к другим определениям.

[geomath]

Вот, вычитал у Мандельброта.

Цитата:

Нравится нам это или нет, но аксиоматика больше подходит для украшения надгробных памятников, чем для растущей и меняющейся науки.

[Котофеич]

экси писал(а):

Он не прав. Хотя конечно, что все зависит от того, что мы имеем в виду под словом "определение". Если говорить об "объективном" определении понятия, об определении понятия, как того, что реально существует, тогда наверное конечного определени я дать невозможно. Но если говорить о формальных логических системах. то конечно можно дать определения не апелирующие к другим определениям.

Нет, он абсолютно прав. Само определение формальной системы (например арифметики Пеано), изначально опирается на интуитивное понятие натурального числа, которое уже потом четко формализуется внутри этой системы. Успенский хотел подчеркнуть,
что невозможно дать прямых определений и что в математике они неизбежно носят импредикативный характер

[экси]

Само определение формальной системы (например арифметики Пеано), изначально опирается на интуитивное понятие натурального числа, которое уже потом четко формализуется внутри этой системы.
Весьма спорное утверждение...

[geomath]

Поглядел указанную статью. Оказывается, ей больше 20 лет. Для "философии" это многовато, и в этом смысле она (статья) еще "советская". В России за это время сменилась общественно-экономическая формация. ФОРМАЦИЯ! Неужели в математике с тех пор ничего не изменилось и нет ничего поновее?

[Котофеич]

экси писал(а):

Само определение формальной системы (например арифметики Пеано), изначально опирается на интуитивное понятие натурального числа, которое уже потом четко формализуется внутри этой системы.
Весьма спорное утверждение...

Возьмите учебник и тогда сами убедитесь

[экси]

Во-первых, учебник - еще не самый боль шой авторитет, по крайней мере не всякий учебник.
Во-вторых, как ни странно, я уже взял учебник, прежде чем написать, и убедился в том. что собственно и так знал - определение формальной системы прямой ссылки на понятие натурального числа не имеет. Впрочем возможно мы пользуемся разными учебниками, тогда попрошу ссылку. Или по разному понимаем учебник, тогда попрошу разяснений.

[Котофеич]

При определении формальной системы, используется понятие формулы. Множество
формул это счетное множество которое строится рекурсией по длине формул. Таким образом
построение формальной арифметики Пеано изначально опирается на интуитивное понятие рекурсии, которое уже потом вводится и строго формализуется внутри самой этой системы. Таким образом формулы определены через понятие натурального числа, а это
понятие формализуется через формулы.

[Someone]

экси, не спорьте с Котофеичем по этому вопросу, он прав. Формулировка формальной системы без определённых представлений о натуральном числе невозможна. Даже математическую логику сформулировать не удастся, не говоря уже о собственно математических формальных системах.

[arqady]

Котофеич писал(а):

СЕМЬ РАЗМЫШЛЕНИЙ НА ТЕМЫ ФИЛОСОФИИ МАТЕМАТИКИ*
В. А. Успенский

Действительно ли в математике все определяется и доказывается?

http://a-bugaev.chat.ru/uspensky.html

Класс! Спасибо большое!

[epros]

Someone писал(а):

экси, не спорьте с Котофеичем по этому вопросу, он прав. Формулировка формальной системы без определённых представлений о натуральном числе невозможна. Даже математическую логику сформулировать не удастся, не говоря уже о собственно математических формальных системах.

А вот я попробую высказать мысль, как можно до определённой степени избавиться от "интуитивных" представлений в основаниях математики. Можно исходить из того, что вся математика - это совокупность неких строк символов и правил манипулирования ими, а какой бы то ни было "смысл", придаваемый этим строкам, относится к применению математики, т.е. уже выходит за её пределы. В соответствии с этим пониманием "математическим объектом" всегда является строка символов в некотором алфавите, и ничто иное. Понятие "математически определено", если у нас есть способ, позволяющий построить конкретный математический объект в виде строки символов, подходящей под условие определения. Например, можно определить натуральное число в двоичном представлении, т.е. в алфавите {0,1}, если определить единицу как строку "1", и операцию инкремента как соответствующую операцию над двоичными строками, - это как раз соответствует аксиоматике Пеано.

Что касается логики, то она возникает в результате введения такого понятия, как "высказывание". Естественно, как и любой математический объект высказывание должно быть строкой символов. Собственно "высказыванием" строку символов делает наличие некоего способа (процедуры) "проверки высказывания". Если эта процедура завершается успехом, это означает, что высказывание "истинно". Далее определяются основные логические операции:
"И" завершается успехом когда проверки обоих аргументов завершаются успехом.
"ИЛИ" завершается успехом когда проверка одного из аргументов завершается успехом.
"НЕ" завершается успехом когда проверка самой процедуры проверки высказывания показала, что она не завершится успехом.
И т.п.
Таким образом логические тождества вводятся не как аксиомы, а являются следствием определений логических операций.

Это, как я понимаю, есть основы того, что называется "конструктивный анализ".

Конечно, он тоже стоит на неких базовых предположениях. Например, мы должны быть уверены, что все способны одинаково прочитать заданную строку символов (это называется "абстракция отождествления" или "распознавания"). Мы также должны быть уверены, что если у нас есть некий "теоретический" способ построения математического объекта (или проверки высказывания), то отсутствие необходимых ресурсов - достаточного количества бумаги для записи оч-чень длинной строки, достаточного времени или желания - не станет препятствием для его выполнения (это называется "абстракция потенциальной осуществимости" или "реализуемости").

[Владимир Рогожин]

На вопрос Пуанкаре «Чем объяснить, что многие умы отказываются понимать математику?" к одному из ответов Успенского - "...можно быть уверенным, что с внедрением компьютеров преподавание пойдет по пути визуализации понятий, традиционно считавшихся совершенно абстрактными..." следует добавить: Преподавание математики не должно быть оторвано от ИСТОРИИ ее становления как науки. Сейчас же в школе - "натаскивание". "Понимание есть в конечном счете схватывание структуры".

[Черный Евгений]

Хотел бы добавить математические понятия, которые невозможно передать никакими определениями:
1) точка или протяженный отрезок. Никто никогда не поймет, что такое протяженность, пока не увидит отрезка. Тогда точка, как отрезок 0 длины;
2) прямая линия. Никто никогда не поймет, что такое прямая, пока ее не увидит.
Вывод: Нет ответа на самый главный вопрос: "В каком мире можно увидеть конечный отрезок? Можно ли его увидеть в непрерывном мире?" Риман считал, что нельзя, поскольку для непрерывной среды невозможно определить понятие протяженности через ее единственное свойство - бесконечную делимость. На это никто не обратил внимания, ну сказал и сказал. Зато спорить о бесконечных множествах с утра до ночи мы готовы в любую погоду.

[AD]

Черный Евгений. Один вопрос. А вы пробовали читать учебники по математическому анализу для первого курса? Там это всё определяется вполне удовлетворительно. Вполне можно научить этому слепого, который никогда прямую и отрезок не видел (кстати, а вы-то видели? Только не надо на край линейки пальцем тыкать, не в седьмом классе же, умеем отличать абстрактное от реальности).