Почему комплексные числа "работают" на практике ?

[Munin]

Алексей К. в сообщении #407766 писал(а):

При решении кубического уравнения я беру любой справочник и явно выписываю действительные и, если нужно, комплексные корни.

А как по-вашему, кто их в этот справочник вписал, и откуда он сам их нашёл?

[Алексей К.]

(2 Munin)

В тот, процитированный мной справочник, их вписал cepesh, списал он у Ципкина, Ципкин --- у Бр.-Сем., дальше не знаю.
Если мне не изменяет память, тригонометрическое решение выводится непосредственно, без Кардано.
Но для уверенного заявления надо повторить 7-летней давности гугление. Вряд ли сейчас оно меня приведёт к той же книжке 18лохматого года...

[_hum_]

2Maslov

Цитата:

А что Вы вкладываете в понятие "содержательной модели"? Если она у Вас не математическая, то какая?

Геометрическая или физическая, например.

2Ales

Цитата:

Такие уравнения решаются методом Ньютона или каким-либо другим аналогичным методом и без применения комплексных чисел.

2Алексей К.

Цитата:

При решении кубического уравнения я беру любой справочник и явно выписываю действительные и, если нужно, комплексные корни.

Да можно вообще просто угадать, подставить в уравнение и проверить, является решением или нет. Вопрос-то не в этом, а в том, как обосновать, что если вы будете решать общим методом, предложенным Кардано, и пройдете через комплексные числа, то в итоге получите то же решение. (Это моделирует более общую ситуацию, когда в процессе решения более сложной задачи с неизвестными заранее "таблицами решений" и "методами Ньютона" задействуется выход в комплексную плоскость, и требуется обосновать полученное таким образом решение).

[Munin]

Вообще-то любое решение либо восходит к Кардано и Тарталье, либо им эквивалентно. Если вы пользуетесь какой-то тригонометрией, то это просто маскировка комплексных чисел от самого себя: понятно, что вместо комплексных чисел можно делать все те же выкладки с точками на плоскости.

[Gortaur]

Понимаете, комплексные числа - удобный инструмент, скажем для описания частот. Вроде бы можно и без них, но с ними удобнее. Так что можете считать, что КЧ - это частота.

-- Вт фев 01, 2011 21:30:16 --

Ну и + амплитуда, конечно.

[Tafiril]

Я тоже задавался этим вопросом- и пришел к выводу- что все матформулы не человек придумывает, а они уже существуют в каком-то идеальном пространстве идей, а математики при помощи своего воображения достают эти субстанции....

[Gortaur]

По-моему, это слишком. Что для Вас комплексный корень квадратного уравнения - то для меня бухеро куранна (от) краасу тегенко (учитывая что я разумная сущность, Вам неведомая). И как мы будем сравнивать наши идеи, если я эти корни, скажем, пою - а уравнения выхлопываю?

-- Вт фев 01, 2011 22:11:56 --

И то, по-моему, недостаточно абстрактно.

[Ales]

_hum_ в сообщении #407849 писал(а):

Вопрос-то не в этом, а в том, как обосновать, что если вы будете решать общим методом, предложенным Кардано, и пройдете через комплексные числа, то в итоге получите то же решение.

А почему Вас не устраивает алгебраическое доказательство?
Вы работаете с некоторыми символами по некоторым правилам, в результате тоже получаете символы.

Потом Вы спрашиваете: насколько это соответствует реальности?
Пока согласно опыту - соответствовало и мы надеемся, что и дальше так будет.
А если и не будет, то риск невелик.

[_hum_]

2Ales

Цитата:

Пока согласно опыту - соответствовало и мы надеемся, что и дальше так будет.
А если и не будет, то риск невелик.

Еще раз обращаю внимание: соответствие арифметики, например, рациональных чисел опыту - это не экспериментальный факт, а следствие того, что сама арифметика была построена таким образом, чтобы действия в ней над числами отражало действия над объектами на практике (например, над эталонами длины при производстве измерений). И пока вы работаете с рациональными (или вещественными числами), все полученные результаты - это то же самое, как если бы вы напрямую брали тот же эталон длины и начинали его составлять с собой, разделять на равные части и т.п. И именно поэтому в адекватности полученных в такой арифметике результатах можно быть уверенным. С комплексными же числами дело обстоит иначе - они никак напрямую не "привязаны" к практике, поэтому как только вы в каком-то месте своих вычислений переходите к комплексным, а потом возвращаетесь обратно к действительным, происходит "отрыв от практики". И теперь, чтобы гарантировать, что полученный результат все-таки адекватен, нужно привести дополнительные обоснования. Если можете, приведите, пожалуйста.

[Gortaur]

А если так - ввести комплексное число как объект плоскости, определить операцию умножения (как растягивание+поворот) - и получить алгебру для комплексных чисел как точек на плоскости с умножением. Далее мы внезапно наталкиваемся на то, что используя точки на плоскости можем решить кубическое уравнение. Адекватно?

-- Вт фев 01, 2011 23:34:33 --

Если Вам смущает то, что для вычисления корней кубического уравнения мы то уходим, то возвращаемся - то можете воспринимать комлексные числа как геометрический объект (очень практично) "... а еще они помогают решать кубические уравнения".

[Munin]

Tafiril в сообщении #407887 писал(а):

Я тоже задавался этим вопросом- и пришел к выводу- что все матформулы не человек придумывает, а они уже существуют в каком-то идеальном пространстве идей, а математики при помощи своего воображения достают эти субстанции....

Мысль неоригинальная, причём аналогичные высказывают многие работающие математики.

[ИСН]

Все платонисты. Куда я попал.

[Munin]

Gortaur в сообщении #407962 писал(а):

Если Вам смущает то, что для вычисления корней кубического уравнения мы то уходим, то возвращаемся - то можете воспринимать комлексные числа как геометрический объект (очень практично) "... а еще они помогают решать кубические уравнения".

Кстати, вот это само по себе очень интересное свойство математики: что для решения одной задачи, формулируемой в одной теории, в одной системе понятий, часто бывает нужно выйти из плоскости этой теории, в другую теорию и в другую систему понятий (иногда заранее не существующую, то есть её приходится построить), и там уже решив задачу, вернуться с решением обратно.

[Gortaur]

ИСН в сообщении #407969 писал(а):

Все платонисты. Куда я попал.

Нет, мы - Ваши идеи, воплощения таких же разумных, как и Вы (потому что Вам было скучно). Так что это Вы - платонист.

(Оффтоп)

Мне вот кстати, было интересно, что будет если Алиса разбудит черного короля...

2Munin
Это очень красиво и замечательно. Если бы данного свойства не было, была бы не математика, а так - треугольники 3-4-5 строили бы лучше.

[Munin]

ИСН в сообщении #407969 писал(а):

Все платонисты. Куда я попал.

Я неплатонист. Но это не мешает мне уважать платонизм других людей (достаточно умных), и констатировать его наличие.

-- 01.02.2011 22:56:53 --

Gortaur в сообщении #407983 писал(а):

Это очень красиво и замечательно. Если бы данного свойства не было, была бы не математика, а так - треугольники 3-4-5 строили бы лучше.

Ну, я не думаю, что всё было бы так плохо, всё-таки у математики есть и внешние стимулы для развития того или иного инструментария. Но я полностью согласен с вами, что это красиво и замечательно. И заодно создаёт в математике внутренние стимулы для развития и внутренние связи, которые в конечном счёте пронизывают её всю и связывают в единое целое (вот где платонизм-то не то что потоптался - потанцевал вдоволь).