Какие-то гадания на кофейных гущах.
Уравнение
![$a_{n+1}=3a_n+1$ $a_{n+1}=3a_n+1$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/d/8/9/d89b422782f7deaf08aa32d97cff0da482.png)
-- линейное по отношению к последовательности и неоднородное (оно станет однородным, если выкинуть единичку). Общее решение такого сорта уравнений (независимо от их природы) всегда представляется в виде суммы
![$a_n=b_n+c_n$ $a_n=b_n+c_n$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/b/7/eb7abbef0aec91179e505ea9e674131a82.png)
, где
![$b_n$ $b_n$](https://dxdy-02.korotkov.co.uk/f/9/3/5/935aab151b542081e51a21ca914e3be682.png)
-- общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е.
![$b_{n+1}=3b_n$ $b_{n+1}=3b_n$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/8/b/6/8b64dca18787622796ce073aa25aa2b082.png)
) и
![$c_n$ $c_n$](https://dxdy-04.korotkov.co.uk/f/f/e/6/fe6a8e7ea5ac601d9dd986902ca41d1382.png)
-- какое-либо (не важно какое) частное решение неоднородного уравнения. Первое очевидно, второе же достаточно угадать. Можно, например, искать частное решение в виде константы, и (о чудо!) оно моментально находится. (Для угадывания в определённых случаях есть определённые правила, но это потом, а пока что достаточно и просто здравого смысла.)