Найти сумму последовательности, заданной рекуррентно

[myra_panama]

У меня сейчас вот что получилось:
$a_n=3a_{n-1}+1 ,, a_{n-1}=3a_{n-2}+1$ отсюда
$a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}-a_{n-2})$
$a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}-a_{n-2})=3^2(a_{n-1}-a_{n-2})=...=3^{n-2}(a_2-a_1)$
итак: $a_n-a_{n-1}=5*3^{n-2}$
дальше шас думаююю

[BapuK]

у Вас есть последовательность $\{a_n\}$ замкнутую форму которой вы не можете найти, Вам предлагают с помощью замены $b_n = a_n \pm \dots$ перейти к такой последовательности, чтобы замкнутую форму можно было легко посчитать, а потом обратным преобразованием вернуться к исходной последовательности....
Причем Вам подсказали уже какую делать замену в первых постах...

[myra_panama]

спс , у меня сейчас что-то нето....
Сделал замену , которую ИСН сказал :
$b_n=a_n +1$ отсюда
$b_1=1 , b_n=3(b_{n-1}+1)$
уже легче стало ....
и наконец пришел к ответу:
$a_1+a_2+...+a_n=\frac{5(3^n -1)-2n}4$

[ewert]

Какие-то гадания на кофейных гущах.

Уравнение $a_{n+1}=3a_n+1$ -- линейное по отношению к последовательности и неоднородное (оно станет однородным, если выкинуть единичку). Общее решение такого сорта уравнений (независимо от их природы) всегда представляется в виде суммы $a_n=b_n+c_n$, где $b_n$ -- общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. $b_{n+1}=3b_n$) и $c_n$ -- какое-либо (не важно какое) частное решение неоднородного уравнения. Первое очевидно, второе же достаточно угадать. Можно, например, искать частное решение в виде константы, и (о чудо!) оно моментально находится. (Для угадывания в определённых случаях есть определённые правила, но это потом, а пока что достаточно и просто здравого смысла.)

[Joker_vD]

Да не нужны тут никакие замены, замкнутая форма легко считается в лоб. В ответе будет $\dfrac{3^{n+1}+2\cdot3^n-2n-5}4.$

Да, решение ewert'а, несомненно, "изячней и стройней". Но можно и в лоб (задача уже решена, так что...):

$$a_n = 3a_{n-1}+1=3^2a_{n-2}+3+1 = 3^3a_{n-3}+\sum_{k=0}^{2}3^k = \,\dots\, = 3^{n-1}a_1 + \sum_{k=0}^{n-2}3^k = 3^{n-1} + \sum_{k=0}^{n-1}3^k = 3^{n-1} + \frac{3^n-1}2$$

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #407248 писал(а):

У меня сейчас вот что получилось:
$a_n=3a_{n-1}+1 ,, a_{n-1}=3a_{n-2}+1$ отсюда
$a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}-a_{n-2})$
$a_n-a_{n-1}=3(a_{n-1}-a_{n-2})=3^2(a_{n-1}-a_{n-2})=...=3^{n-2}(a_2-a_1)$
итак: $a_n-a_{n-1}=5*3^{n-2}$
дальше шас думаююю

Здесь тоже легко по моему:
при n=1,2,3,... имеем:
$a_2-a_1=5*1 $ ,$a_3-a_2=5*3$ ,$a_4-a_3=5*3^2$ .... $a_n-a_{n-1}=5*3^{n-2}$
складивая получаем:
$a_n-a_1=5(1+3+3^2+...+3^{n-2})=\frac52 (3^{n-1}-1)$
отсюда подставляя $a_n$ в сумму получаем искомый ответ...