Задача на простые числа

[Andrey173]

Задача с региональной олимпиады. Почему-то за нее поставили 0 баллов. Можете проверить решение?
Задача: Найти все тройки чисел простых чисел p,q,r такие, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Решение: Пусть $p<q<r$ для определенности.
$qr|{p^4-1}$
$p^4-1=(p^2-1)(p^2+1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)$
q или r не могут делить $p-1$, т.к. $p<q<r$
qr не может делить $p^2+1$, т.к. $q\geq p+1,r\geq p+2\to qr\geq p^2+3p+2>p^2+1$
Выходит что $q|(p+1) \oplus r|(p+1)$ (1)
Но из того, что q и r больше p и (1) следует, что $q=p+1 \oplus r=p+1$
Существует только два подряд идущих простых числа 2 и 3, так как все остальные четные числа составные.
Тогда единственная тройка чисел, которая удовлетворяют условиям это 2, 3 и 5

[myra_panama]

Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):

Тогда единственная тройка чисел, которые удовлетворяют условиям это 2, 3 и 5

по моему не только эти тройки числа 2,3, и 5 удовлетворяет ...
но и тройки таких чисел тоже удовлетворяют 3,4, и 5

[Andrey173]

Мы же говорим о простых числах.
2|4

[Simba]

Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):

что четвертая степень любого из них

Мне кажется, что для любого числа из этих 3ех чисел выполнено данное условие.

Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):

так как все остальные четные числа сложные

Сложные - это как?

[Andrey173]

Simba в сообщении #407201 писал(а):

Сложные - это как?

Составные то есть

Simba в сообщении #407201 писал(а):

Мне кажется, что для любого числа из этих 3ех чисел выполнено данное условие.

Ну так я в ответе и записал все три числа. Нужно же тройки найти

[Null]

У вас пропущено обьяснение почему они все разные.

[Ales]

Задача решена правильно.

-- Пн янв 31, 2011 18:04:31 --

Null в сообщении #407207 писал(а):

У вас пропущено обьяснение почему они все разные.

За это проверяющий мог не засчитать баллы.
Математики иногда бывают такими занудами и педантами.

[Andrey173]

Жалко, я почему-то не подумал про это.
Вообще это не трудно показать. Если там какие-то два числа равны, то они должны быть равны 1.

[Ales]

Andrey173 в сообщении #407219 писал(а):

Жалко, я почему-то не подумал про это.

На самом деле мы можем только гадать. Факт, что Вы решили правильно, а баллов не получили.
Кстати, если Вы использовали те же обозначения, он мог и не понять, что значит $\oplus$.

[Andrey173]

Нет, там я нормально написал "или")

[Simba]

Null в сообщении #407207 писал(а):

Ну так я в ответе и записал все три числа. Нужно же тройки найти

Я имею ввиду что какое бы число вы не взяли из этих 3ех, для него это условие выполняется (хотя на вряд-ли). Иной причины 0 баллов я не вижу

[Null]

(Оффтоп)

Я такого не писал.

[Dandan]

Вообще правильно, только не рассмотрен случай одинаковых чисел. За такое по идее должны были просто снять пару баллов.

[Simba]

(Оффтоп)

Null в сообщении #407345 писал(а):

Я такого не писал.

прошу прошения, не то выделил)

[svv]

Andrey173, даже если Вы рассмотрели не все случаи, то Вы рассмотрели самый сложный. Если это так, оценка несправедлива.