2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 16:58 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Задача с региональной олимпиады. Почему-то за нее поставили 0 баллов. Можете проверить решение?
Задача: Найти все тройки чисел простых чисел p,q,r такие, что четвертая степень любого из них, уменьшенная на 1, делится на произведение двух остальных.
Решение: Пусть $p<q<r$ для определенности.
$qr|{p^4-1}$
$p^4-1=(p^2-1)(p^2+1)=(p-1)(p+1)(p^2+1)$
q или r не могут делить $p-1$, т.к. $p<q<r$
qr не может делить $p^2+1$, т.к. $q\geq p+1,r\geq p+2\to qr\geq p^2+3p+2>p^2+1$
Выходит что $q|(p+1) \oplus r|(p+1)$ (1)
Но из того, что q и r больше p и (1) следует, что $q=p+1 \oplus r=p+1$
Существует только два подряд идущих простых числа 2 и 3, так как все остальные четные числа составные.
Тогда единственная тройка чисел, которая удовлетворяют условиям это 2, 3 и 5

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:19 


19/01/11
718
Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):
Тогда единственная тройка чисел, которые удовлетворяют условиям это 2, 3 и 5

по моему не только эти тройки числа 2,3, и 5 удовлетворяет ...
но и тройки таких чисел тоже удовлетворяют 3,4, и 5

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:23 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Мы же говорим о простых числах.
2|4

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:25 


03/10/10
102
Казахстан
Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):
что четвертая степень любого из них

Мне кажется, что для любого числа из этих 3ех чисел выполнено данное условие.

Andrey173 в сообщении #407170 писал(а):
так как все остальные четные числа сложные

Сложные - это как? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:27 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Simba в сообщении #407201 писал(а):
Сложные - это как?

Составные то есть :oops:
Simba в сообщении #407201 писал(а):
Мне кажется, что для любого числа из этих 3ех чисел выполнено данное условие.

Ну так я в ответе и записал все три числа. Нужно же тройки найти

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:39 
Заслуженный участник


12/08/10
1281
У вас пропущено обьяснение почему они все разные.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 17:59 


20/12/09
1527
Задача решена правильно.

-- Пн янв 31, 2011 18:04:31 --

Null в сообщении #407207 писал(а):
У вас пропущено обьяснение почему они все разные.

За это проверяющий мог не засчитать баллы.
Математики иногда бывают такими занудами и педантами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 18:06 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Жалко, я почему-то не подумал про это.
Вообще это не трудно показать. Если там какие-то два числа равны, то они должны быть равны 1.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 18:12 


20/12/09
1527
Andrey173 в сообщении #407219 писал(а):
Жалко, я почему-то не подумал про это.

На самом деле мы можем только гадать. Факт, что Вы решили правильно, а баллов не получили.
Кстати, если Вы использовали те же обозначения, он мог и не понять, что значит $\oplus$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 18:14 
Аватара пользователя


08/08/10
358
Нет, там я нормально написал "или")

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 18:27 


03/10/10
102
Казахстан
Null в сообщении #407207 писал(а):
Ну так я в ответе и записал все три числа. Нужно же тройки найти

Я имею ввиду что какое бы число вы не взяли из этих 3ех, для него это условие выполняется (хотя на вряд-ли). Иной причины 0 баллов я не вижу

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение31.01.2011, 21:12 
Заслуженный участник


12/08/10
1281

(Оффтоп)

Я такого не писал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение01.02.2011, 01:47 


24/03/07
321
Вообще правильно, только не рассмотрен случай одинаковых чисел. За такое по идее должны были просто снять пару баллов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение01.02.2011, 15:36 


03/10/10
102
Казахстан

(Оффтоп)

Null в сообщении #407345 писал(а):
Я такого не писал.

прошу прошения, не то выделил)

 Профиль  
                  
 
 Re: Задача на простые числа
Сообщение01.02.2011, 16:21 
Заслуженный участник


23/07/08
9027
Харьков
Andrey173, даже если Вы рассмотрели не все случаи, то Вы рассмотрели самый сложный. Если это так, оценка несправедлива. :-(

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group