Как найти n-дольные числа? (не путать с числами Рамсея!)

[Xenia1996]

Назовём натуральное число n-дольным, если множество всех его натуральных делителей можно разбить на n непустых непересекающихся подмножеств с равной сумой.
Например, чтсло 6 является как однодольным, так и двудольным (1+2+3=6).

Я рассмотрела следующую задачу: для каждого натурального n установить, сколько существует n-дольных чисел.

Мне удалось доказать лишь бесконечность множества трёхдольных чисел (бесконечность множества однодольных чисел очевидна, а доказательство бесконечности множества двудольных чисел тривиально):

Число 120 является трёхдольным (120=60+40+20=1+2+3+4+5+6+8+10+12+15+24+30).
Число 120p (где p-простое число, не являющееся делителем числа 120) также является трёхдольным для любого p.
Действительно, все делители 120p можно разбить на пары $(a_i, a_i\cdot p)$, где $a_1, a_2, \dots, a_{16}$ - делители числа 120.

Тогда

$$\gathered 120+120p=60+60p+40+40p+20+20p=\\1+p+2+2p+3+3p+4+4p+5+5p+6+6p+8+8p+10+10p+12+12p+15+15p+24+24p+30+30p\endgathered$$

Например, для числа $120\cdot7=840$ имеем

120+840=60+420+40+280+20+140=1+7+2+14+3+21+4+28+5+35+6+42+8+56+10+70+12+84+15+105+24+168+30+210

А поскольку простых чисел бесконечно много (думaю, доказывать это здесь не нужно), трёхдольных - тоже бесконечно много.

Но вот с четырёх- и более дольными числами я забуксовала. Не смогла найти ни одного четырёхдольного числа (хотя моя интуиция подсказывает мне, что и их - бесконечно много).

zhoraster:

Красным цветом пишут модераторы. Поменял на сиреневый. Немного поправил формулы -- не забывайте про знаки долларов!

[Null]

$N=32*27*5*7$
$N=N(\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}+\frac{1}{135}+\frac{1}{27}+\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18})=\\=N(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}+\dots+\frac{1}{32*7}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2})=\sigma(N)/4$

[Xenia1996]

Null в сообщении #406232 писал(а):

$N=32*27*5*7$
$N=N(\frac{1}{5}+\frac{1}{15}+\frac{1}{45}+\frac{1}{135}+\frac{1}{27}+\frac{1}{9}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{18})=\\=N(\frac{1}{7}+\frac{1}{14}+\frac{1}{28}+\dots+\frac{1}{32*7}+\frac{1}{32}+\frac{1}{16}+\frac{1}{8}+\frac{1}{2})=\sigma(N)/4$

Вот уже и закономерность вырисовывается.
Спасибо!

[Null]

$\frac{1}{9}$ лишняя.