Что больше

[myra_panama]

Что больше:
$e^{2\pi}$ или $e^e \pi^{\pi}$ ?

Я знаю одну задачку похожий этого:
$e^{\pi} > {\pi}^e $
Для доказательство сначала возмем функцию $f(x)=\frac{lnx}{x}$ и показываем ,что $f(e)>f(\pi)$
Но для $(e^{2\pi}$ или $e^e \pi^{\pi})$ не могу найти такую функцию...

[Хорхе]

А ее и не надо искать. Достаточно использовать указанный Вами факт и то, что $\pi>e$.

[myra_panama]

Хорхе в сообщении #406165 писал(а):

А ее и не надо искать. $\pi>e$.

Да можно и искать. В указании этого задачу сказанно ,что найти функцию f(x) и использоваться на монотонность...

[Хорхе]

$x^{2\pi-x}$ тогда.

[ewert]

$2\pi\,\gtrless\,e+\pi\ln\pi;\quad f(x)=x\ln x-2x+e,\quad f(e)=0,\quad f'(x)=\ln x-1.$

[Руст]

Логарифмируем и сравниваем $2x$ и $x\ln x +e$. Пусть $f(x)=2x-x\ln x-e$.
Очевидно $f'(x)=1-\ln x<0,x>e$ и $f(e)=0$, следовательно $f(x)<0,x>e$. Поэтому $e^{2x}<e^ex^x$ при $x>e$.

[myra_panama]

а может использоваться функцию : $f(x)=x-\pi\ln x$ отсюда,
$f'(x)=1-\frac{\pi}{x}$
в точке $x=\pi$ функция имеет минимум , поэтому $f(e)<f(\pi)$ , отсюда
$ f(e)=e-\pi\ln{e}<f(\pi)=\pi-\pi\ln{\pi}$ , окончательно
$e^{2\pi}>e^e \pi^{\pi}$