2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Что больше
Сообщение29.01.2011, 06:00 


19/01/11
718
Что больше:
$e^{2\pi}$ или $e^e \pi^{\pi}$ ?

Я знаю одну задачку похожий этого:
$e^{\pi} > {\pi}^e $
Для доказательство сначала возмем функцию $f(x)=\frac{lnx}{x}$ и показываем ,что $f(e)>f(\pi)$
Но для $(e^{2\pi}$ или $e^e \pi^{\pi})$ не могу найти такую функцию...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 10:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
А ее и не надо искать. Достаточно использовать указанный Вами факт и то, что $\pi>e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 10:24 


19/01/11
718
Хорхе в сообщении #406165 писал(а):
А ее и не надо искать. $\pi>e$.

Да можно и искать. В указании этого задачу сказанно ,что найти функцию f(x) и использоваться на монотонность...

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 12:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


14/02/07
2648
$x^{2\pi-x}$ тогда.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 13:23 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
$2\pi\,\gtrless\,e+\pi\ln\pi;\quad f(x)=x\ln x-2x+e,\quad f(e)=0,\quad f'(x)=\ln x-1.$

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 13:27 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Логарифмируем и сравниваем $2x$ и $x\ln x +e$. Пусть $f(x)=2x-x\ln x-e$.
Очевидно $f'(x)=1-\ln x<0,x>e$ и $f(e)=0$, следовательно $f(x)<0,x>e$. Поэтому $e^{2x}<e^ex^x$ при $x>e$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Что больше
Сообщение29.01.2011, 13:41 


19/01/11
718
а может использоваться функцию : $f(x)=x-\pi\ln x$ отсюда,
$f'(x)=1-\frac{\pi}{x}$
в точке $x=\pi$ функция имеет минимум , поэтому $f(e)<f(\pi)$ , отсюда
$  f(e)=e-\pi\ln{e}<f(\pi)=\pi-\pi\ln{\pi}$ , окончательно
$e^{2\pi}>e^e \pi^{\pi}$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group