Сравните числа

[myra_panama]

Сравните числа:
1) $2^{\sqrt3}$ и $3^{\sqrt2$

2)$\int\limits_0^\pi e^{\sin^2{x}}dx$ и $\frac{3\pi}2$

[Gortaur]

$\sqrt{3}<2$ - теперь что насчет второго числа. Покажем, что $\sqrt{2}<\frac{\log{4}}{\log{3}}$. Путем недолгих преобразований приходим к тому, что это эквивалентно тому, что $2^{sqrt(2)}<2^{3/2}<3$.

[ИСН]

(2) исчерпывается сравнением $e^x$ с $1+x$.

[Null]

$\sqrt{2}^{\sqrt{3}}<\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$, т.к. $\sqrt{2}<\sqrt{3}<e$

[Gortaur]

Черт, я-то думал, как туда привести. Но там придется доказывать, что максимум в $\mathrm{e}$ достигается. А мой способ не требует производной... Вот.

[myra_panama]

ИСН в сообщении #405902 писал(а):

(2) исчерпывается сравнением $e^x$ с $1+x$.

ммм.. спасибо
$e^x <1+x$ отсюда имеем:
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\int\limits_0^{\pi} (1+\sin^2 x)dx = \frac{3\pi}{2}$
Окончательно,
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\frac{3\pi}{2}$

[ИСН]

Олег Григорьев писал(а):

Человек шел спиною назад,
Ногами назад и затылком назад.
А может, он шел вперед?
Вперед, только наоборот.

[myra_panama]

Цитата:

$e^x <1+x$ отсюда имеем:
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\int\limits_0^{\pi} (1+\sin^2 x)dx = \frac{3\pi}{2}$
Окончательно,
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\frac{3\pi}{2}$

Извиняюсь знак ">" а не "<" sorry