2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 16:28 
Сравните числа:
1) $2^{\sqrt3}$ и $3^{\sqrt2$

2)$\int\limits_0^\pi e^{\sin^2{x}}dx$ и $\frac{3\pi}2$

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 16:37 
$\sqrt{3}<2$ - теперь что насчет второго числа. Покажем, что $\sqrt{2}<\frac{\log{4}}{\log{3}}$. Путем недолгих преобразований приходим к тому, что это эквивалентно тому, что $2^{sqrt(2)}<2^{3/2}<3$.

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 17:11 
Аватара пользователя
(2) исчерпывается сравнением $e^x$ с $1+x$.

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 17:50 
$\sqrt{2}^{\sqrt{3}}<\sqrt{3}^{\sqrt{2}}$, т.к. $\sqrt{2}<\sqrt{3}<e$

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 18:01 
Черт, я-то думал, как туда привести. Но там придется доказывать, что максимум в $\mathrm{e}$ достигается. А мой способ не требует производной... Вот.

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 18:48 
ИСН в сообщении #405902 писал(а):
(2) исчерпывается сравнением $e^x$ с $1+x$.

ммм.. спасибо
$e^x <1+x$ отсюда имеем:
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\int\limits_0^{\pi} (1+\sin^2 x)dx = \frac{3\pi}{2}$
Окончательно,
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\frac{3\pi}{2}$

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение28.01.2011, 19:40 
Аватара пользователя
Олег Григорьев писал(а):
Человек шел спиною назад,
Ногами назад и затылком назад.
А может, он шел вперед?
Вперед, только наоборот.

 
 
 
 Re: Сравните числа
Сообщение29.01.2011, 08:22 
Цитата:
$e^x <1+x$ отсюда имеем:
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\int\limits_0^{\pi} (1+\sin^2 x)dx = \frac{3\pi}{2}$
Окончательно,
$\int\limits_0^{\pi} e^{\sin^2 x}dx <\frac{3\pi}{2}$

Извиняюсь :oops: знак ">" а не "<" sorry :lol:

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group