исходный интеграл равен:
![$$\[\int\limits_0^{1/\sqrt 2 } {\operatorname{arctg} z} \frac{z}
{{1 - {z^2}}}\frac{{dz}}
{{\sqrt {1 - 2{z^2}} }}\]$$ $$\[\int\limits_0^{1/\sqrt 2 } {\operatorname{arctg} z} \frac{z}
{{1 - {z^2}}}\frac{{dz}}
{{\sqrt {1 - 2{z^2}} }}\]$$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/2/7/a271473765ecad9b405cfcb07dd46c9e82.png)
Кажется, да.
Этот интеграл (в силу чётности) равен половине интеграла по соотв. симметричному промежутку. Который, в свою очередь, равен половине интеграла по комплексному контуру, охватывающему разрез между пределами интегрирования. Если растянуть этот контур по горизонтали так, чтобы он захватил плюс-минус единички, то добавятся два легко считаемых вычета. Теперь полученный контур можно растянуть по горизонтали к бесконечностям, разорвать его там на две горизонтальные линии и каждую из них обернуть вокруг соответствующего разреза для арктангенса (последние выходят из плюс-минус

и уходят по вертикалям на бесконечность). Арктангенс -- это логарифм, который при переходе с одного берега разреза на другой получает приращение

, а остальные множители в подынтегральном выражении при этом не меняются. Поэтому при вычислении интеграла вокруг каждого из разрезов собственно логарифмы сокращаются, а остальное интегрируется уже явно.
Кажется, это проходит, только лень и вообще как-то муторно.