Вычислить

[ShMaxG]

myra_panama
А откуда задача-то, кстати?

[myra_panama]

ShMaxG в сообщении #406417 писал(а):

myra_panama
А откуда задача-то, кстати?

Задачку я нашел из книгу Садовничий (Задачи студентческих мт олимп) . В книге нет решениии.

[sup]

Контурное интегрирование, но немного проще чем раньше.
Замена $\operatorname {tg} x=t$. Интеграл приобретает вид (под интегралом четная функция)
$J = \frac {1}{2} \int \limits_{-1}^1 \frac {\operatorname {arctg}( \sqrt {(1-t^2)/2} }{1+t^2}dt$
Обозначим подынтегральное выражение $f(t)$. Тогда
$J = \left (\int \limits_{-\infty +i0}^{\infty +i0} - \int \limits_{-\infty +i0}^{-1 +i0}- \int \limits_{1 +i0}^{\infty +i0} \right) f(t)/2dt$
Первый интеграл элементарно считается с помощью вычетов и равен $\pi ^2 /8$.
А вот с оставшимися надо аккуратненько считать, что это там получается. Для этого применяем формулу
$\operatorname {arctg}z = \frac {1}{2i}\operatorname {ln}\frac{1+iz}{1-iz} $. Чтобы свести два интервала к одному, во втором интеграле делаем замену $t'=-t$.
Так вот оказывается, что в конечном итоге на интервале $(1,\sqrt{3})$ все сократится, а на луче $(\sqrt{3}, \infty)$, как и предсказывал ewert, "неприятные" логарифмы исчезают, а взамен появляется разность аргументов - $i\pi$. В результате получим интеграл
$\frac {1}{2} \int \limits_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac {\pi}{2(1+t^2)}dt = \pi^2/12$
Ну, собственно, и всё.

[myra_panama]

sup в сообщении #406598 писал(а):

Контурное интегрирование, но немного проще чем раньше.
Замена $\operatorname {tg} x=t$. Интеграл приобретает вид (под интегралом четная функция)
$J = \frac {1}{2} \int \limits_{-1}^1 \frac {\operatorname {arctg}( \sqrt {(1-t^2)/2} }{1+t^2}dt$
Обозначим подынтегральное выражение $f(t)$. Тогда
$J = \left (\int \limits_{-\infty +i0}^{\infty +i0} - \int \limits_{-\infty +i0}^{-1 +i0}- \int \limits_{1 +i0}^{\infty +i0} \right) f(t)/2dt$
Первый интеграл элементарно считается с помощью вычетов и равен $\pi ^2 /8$.
А вот с оставшимися надо аккуратненько считать, что это там получается. Для этого применяем формулу
$\operatorname {arctg}z = \frac {1}{2i}\operatorname {ln}\frac{1+iz}{1-iz} $. Чтобы свести два интервала к одному, во втором интеграле делаем замену $t'=-t$.
Так вот оказывается, что в конечном итоге на интервале $(1,\sqrt{3})$ все сократится, а на луче $(\sqrt{3}, \infty)$, как и предсказывал ewert, "неприятные" логарифмы исчезают, а взамен появляется разность аргументов - $i\pi$. В результате получим интеграл
$\frac {1}{2} \int \limits_{\sqrt{3}}^{\infty} \frac {\pi}{2(1+t^2)}dt = \pi^2/12$
Ну, собственно, и всё.

БРАВО