Объем N-мерного шара

[JJ]

Здравствуйте. Вы не подскажете, как доказать, что объем N-мерного шара равен тому, чему он равен с минимальными времязатратами? Чтобы не было двойных индукций при вычислении интеграла, или чтобы не надо было бы считать якобиан, который тоже приводит к двойной индукции.

Есть ли способ попроще?

[Brukvalub]

Если формулу $V_n = \frac{{\pi ^{\frac{n}{2}} r^n }}{{\gamma (\frac{{n + 2}}{2})}}$ считать известной, и требуется лишь убедиться в ее истинности, то совсем от индукции я бы не отказывался, а индукционный шаг делал бы так: находил объем n-мерного шара как интеграл от объемов всевозможных его (n-1)-мерных сечений, перпендикулярных некоторому фиксированному одномерному диаметру - никаких якобианов и двойных индукций.

[RIP]

Мне лично симпатичен такой способ вычисления.

$$(\sqrt{\pi})^n=(\int\limits_{\mathbb{R}}e^{-x^2}dx)^n=\int\limits_{\mathbb{R}^n}e^{-r^2}dx_1\ldots dx_n=\int\limits_{0}^{\infty}e^{-r^2}S_nr^{n-1}dr=\frac12S_n\Gamma(\frac n2),\ S_n-(n-1)\text{-мерный объем единичной сферы.}$$

Объем единичного шара получаем тогда

$$V_n=\int\limits_{0}^{1}S_nr^{n-1}dr=\frac1nS_n=\frac{\pi^{\frac n2}}{\Gamma(\frac n2+1)}$$