Помогите посчитать интеграл от тригон. функции

[Sintanial]

Как посчитать такой интеграл , не могу придумать замену что бы упростить =)
$\int 2^8\sin^8(x)dx$

[gris]

В случае чётных степеней переход к двойному углу с понижением степени до достижения нечётной. В Вашем случае - 4 раза.

[Tlalok]

В случаях когда степень тригонометрической функции четная ее понижают по формуле
${\sin ^2}x = \frac{1}{2}\left( {1 - \cos 2x} \right)$

В любом случае можно использовать подстановку $tgx = t$

[GAA]

gris, если бы мне предложили такое упражнение, то я бы подумал, что предполагается составление рекуррентной формулы, и уже по ней вычисление данного примера. А просто понижать степень как-то без особой пользы (смысла в таком выполнении упражнения не видно), на мой взгляд.

[gris]

Рекуррентная формула тут тоже просматривается, но опять же с понижением степени синуса на две единицы. Так что придётся её те же четыре раза применять. А так синус в восьмой выражается через косинусы кратных углов и некоторую константу. Двойка в восьмой позволит избавится от дробей при замене переменной. Но да, рекуррентная формула идейнее и полезнее.

[myra_panama]

Нада посмотреть интеграл:
$I_n=\int \sin^{n} {x} dx$
и вывести формулу понижения с помощью можем вычислить данный интеграл при n=8

[mihiv]

Выразить $\sin x$ с помощью формулы Эйлера,в окончательном результате объединить комплексно сопряженные выражения.

[myra_panama]

myra_panama в сообщении #405676 писал(а):

Нада посмотреть интеграл:
$I_n=\int \sin^{n} {x} dx$
и вывести формулу понижения с помощью можем вычислить данный интеграл при n=8

$I_n=\int \sin^{n} {x} dx=\int\sin^{n-1} x d(-\cos x)=-\cos x \sin^{n-1}x+(n-1)I_{n-2}-(n-1)I_n$
Окончательно,
$I_n=\frac{-\cos x \sin^{n-1}x}{n} +\frac{n-1}{n}I_{n-2} $