2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Найдите все решении уравнения
Сообщение26.01.2011, 19:54 


19/01/11
718
Найдите все решении уравнения
$4^{x} + 6^{x^2} = 5^{x} +5^{x^2}$


Видно что решение уравнение только x=0 и x=1 . Но немогу доказать....

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все решении уравнения
Сообщение26.01.2011, 20:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


13/08/08
14495
Что если воспользоваться сравнением выпуклости функции $y=6^{x^2}-5^x$ и $y=5^{x^2}-4^x$

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все решении уравнения
Сообщение26.01.2011, 20:37 


19/01/11
718
А если использовать функцию $f(t)=t^{x^2} + (10-t)^{x}$ и использовать теорему Ролля в [5,6]

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все решении уравнения
Сообщение26.01.2011, 20:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/04/08
2749
Физтех
myra_panama в сообщении #404987 писал(а):
А если использовать функцию $f(t)=t^{x^2} + (10-t)^{x}$ и использовать теорему Ролля в [5,6]

Хм, по-моему получается все очень даже здорово. Надо просто рассмотреть все случаи: $x>1$, $x \in (0,1)$, $x<0$. Последний вообще тривиальный (и так понятно, что там решений быть не может), первые два тоже совсем не сложные, надо последовательность неравенств просто выписать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Найдите все решении уравнения
Сообщение27.01.2011, 05:38 


19/01/11
718
Цитата:
Надо просто рассмотреть все случаи: $x>1$, $x \in (0,1)$, $x<0$. Последний вообще тривиальный (и так понятно, что там решений быть не может), первые два тоже совсем не сложные, надо последовательность неравенств просто выписать

ХМММ спасибо за подсказку .......... :wink:
имеем
$f(5) =f(6)$ Найдеться точка $c\in(5,6)$ который $f'(c)=0$
Отсюда , получаем
$xc^{x^2 -1} = (10-c)^{x-1}$
Рассмотрим случай 1)
x>1 $xc^{x^2 -1}>c^{x^2 -1}>c^{x -1}> (10-c)^{x-1}$ а это невозможно.
2) $0<x<1$ $ xc^{x^2 -1}<xc^{x-1}  $ /////
дальше всё понятно

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group