Найдите все решении уравнения

[myra_panama]

Найдите все решении уравнения
$4^{x} + 6^{x^2} = 5^{x} +5^{x^2}$


Видно что решение уравнение только x=0 и x=1 . Но немогу доказать....

[gris]

Что если воспользоваться сравнением выпуклости функции $y=6^{x^2}-5^x$ и $y=5^{x^2}-4^x$

[myra_panama]

А если использовать функцию $f(t)=t^{x^2} + (10-t)^{x}$ и использовать теорему Ролля в [5,6]

[ShMaxG]

myra_panama в сообщении #404987 писал(а):

А если использовать функцию $f(t)=t^{x^2} + (10-t)^{x}$ и использовать теорему Ролля в [5,6]

Хм, по-моему получается все очень даже здорово. Надо просто рассмотреть все случаи: $x>1$, $x \in (0,1)$, $x<0$. Последний вообще тривиальный (и так понятно, что там решений быть не может), первые два тоже совсем не сложные, надо последовательность неравенств просто выписать.

[myra_panama]

Цитата:

Надо просто рассмотреть все случаи: $x>1$, $x \in (0,1)$, $x<0$. Последний вообще тривиальный (и так понятно, что там решений быть не может), первые два тоже совсем не сложные, надо последовательность неравенств просто выписать

ХМММ спасибо за подсказку ..........
имеем
$f(5) =f(6)$ Найдеться точка $c\in(5,6)$ который $f'(c)=0$
Отсюда , получаем
$xc^{x^2 -1} = (10-c)^{x-1}$
Рассмотрим случай 1)
x>1 $xc^{x^2 -1}>c^{x^2 -1}>c^{x -1}> (10-c)^{x-1}$ а это невозможно.
2) $0<x<1$ $ xc^{x^2 -1}<xc^{x-1} $ /////
дальше всё понятно