Найдите пределы

[myra_panama]

Задачи из книг "Избранные задачи вещественного анализа".
Найдите пределы:
a) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2n}2^{-k}\cos\sqrt\frac{k}{n}$;
b) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^{2n}2^\frac{-nk}{n+k}$;
с) $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}(\frac{k}{n})^k$.

[Руст]

Первые 2 очевидны и равны 2. Третий так же решается в уме и равен $\frac{e}{e-1}$.

[myra_panama]

Цитата:

Первые 2 очевидны и равны 2. Третий так же решается в уме и равен $\frac{e}{e-1}$.

правильно написали ответ , но решение как будеть
третью я решил так:
$(\frac{k}{n})^{k} =(1-\frac{n-k}{n})^{k} =e^{{k}{\ln(1-\frac{n-k}{n})}}$ = $e^{-k} (1+O(\frac{k^2}{n}))$
отсюда , подставим выражении в сумму и получаем:
$\sum\limits_{k=0}^{n} e^{-k}(1+O(\frac{k^2}{n}))$
Отсюда получаем ваш ответ если я гдето не ошибся $\frac{e}{e-1}$

[ИСН]

мысленно переписать сумму с другого конца; он главный.

[Руст]

myra_panama в сообщении #404703 писал(а):

третью я решил так:
$(\frac{k}{n})^{k} =(1-\frac{n-k}{n})^{k} =e^{{k}{\ln(1-\frac{n-k}{n})}}$ = $e^{-k} (1+O(\frac{k^2}{n}))$

Это неверно. Надо с конца, как говорит ИСН.

[ewert]

Руст в сообщении #404691 писал(а):

Первые 2 очевидны и равны 2.

myra_panama в сообщении #404703 писал(а):

правильно написали ответ

Не понял юмора. Первый-то два, но второй ведь -- очевидно бесконечен.

[svv]

Вы, наверное, минуса не заметили. Там он не совсем "там".

[ewert]

А, снимаю вопрос. (Нет, минус-то я заметил.)

[myra_panama]

Цитата:

Это неверно. Надо с конца, как говорит ИСН

не знаю но................
c) Основной вклад дают последние слагаемые
$\sum\limits_{{n-n^{\frac13}}\le k\le n} (\frac{k}{n})^k$ = $\sum\limits_{0\le j \le \sqrt[3]{n}}} (1-\frac{j}{n})^{n-j}$ = $\sum\limits_{0\le j \le \sqrt[3]{n}}} e^{-j}(1+O(\frac{j^2}{n}))$= $\sum\limits_{j\ge0} e^{-j} +o(1) $

Cумма остальных слагаемых бесконечно мало , так как
$\max\limits_{1<k<{n-\sqrt[3]{n}}$$(\frac{k}{n})^{k}=\frac4{n^2}$